任兴蓉, 赵晶晶

(兰州交通大学数理学院, 兰州 730070)

随着金融业在国际市场的影响日益变化, 期权定价理论的研究备受关注,且应用也更为广泛．金融衍生产品的定价始于对其基础资产价格过程的合理建模, 在著名的Black-Scholes模型中, 股票的价格被假定为遵循几何布朗运动dSt=μStdt+σStdWt, 其中μ为漂移率,St为t时刻的股票价格, dt为时间的微分,σ为波动率,Wt为标准布朗运动．基于市场数据的模型校准是金融研究中的一个重要问题, 波动率是决定金融衍生品的重要参数, 然而波动率在市场数据中是不可直接观察的,在这种情况下,对模型参数进行重构通常是一个反问题．与正问题相比, 在一般情况下, 反问题在Hadamard意义下是不适定的, 即存在性、唯一性和稳定性这三者之一不满足时, 就称为不适定性问题．因此反问题有着重要的研究和应用价值．

近年来, 随着金融数学的发展,对局部波动模型的研究引起了学术界的广泛关注．Ma等[1]针对期权定价反演问题, 提出了求解波动率参数反演的非单调梯度算法; Zhang[2]研究了美式期权重构光滑局部波动率的罚方法; Xu等[3]利用全局收敛的信赖域方法求解Black-Scholes模型参数反问题; Deng等[4]基于最优控制理论,研究了与黄金价格挂钩的理财产品波动率的反问题, 并给出了相应的数值实验, 结果表明该方法能很好地恢复波动率函数; Xu等[5]研究了跳扩散过程下期权定价模型波动率的反问题; 王守磊[6]运用二元总变分正则化方法来估计隐含波动……