邓曦泽

一 复述与整理

根据亚里士多德的记载，芝诺关于运动的悖论有四个，第二个是追及悖论。亚里士多德说：

第二个是所谓“阿克琉斯”论证。这个论证的意思是说：一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人，因为追赶的人必须首先跑到被追的人跑的出发点，因此走得慢的人必然永远领先。但是，这个论证和第一个论证，即二分法的论证是一回事，分别只在于：在分划那个量时这里不是用的二分法。由论证所得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上，而这个结论是根据和二分法同样的原理得到的——因为在这两个论证里得到的结论都是因为无论以二分法还是以非二分法取量时都达不到终结，在第二个论证里说最快的人也追不上最慢的人，这样说只是把问题说得更明白些罢了——因此，对这个论证的解决方法必然是同一个方法。认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。这两个论证就说到这里为止。(1)亚里士多德《物理学》，张竹明译，商务印书馆1982年版，第191-192页(239b)。

为了表述方便，这里把运动快者称为阿基里斯(Achilles)，把运动慢者称为乌龟。根据亚里士多德的叙述，对芝诺的追及悖论可以整理如下：

(1)事实前提：乌龟前进了一段距离l0，然后阿基里斯去追乌龟。

(2)问题：阿基里斯能否追上乌龟？

(3)芝诺的结论是：阿基里斯不能追上乌龟。……