李家萌, 陈会文, 肖 可, 阳 晃, 许小锋

(南华大学 数理学院,湖南 衡阳 421001)

0 引 言

考虑下列非线性四阶椭圆型方程：

(1)

其中w∈C(RN×R,R),V∈C(RN,R)。

大多数四阶椭圆型方程是在RN中的有界域Ω上研究的。例如，文献[1-3]。文献[2]利用山路引理得出以下问题的存在性结果。

(2)

其中Ω⊂RN(N>4),c∈R。Ω是一个光滑有界区域。

文献[4-7]研究了方程(2)的多个非平凡解和变号解。文献[7]中，J.W.Zhou和X.Wu研究了变号解的存在性和多重性。文献[8]中W.Wang等利用链接方法得到了至少三个非平凡解。文献[9]中,Y.Yang和A.Zhang研究了正解、负解和变号解的存在性。在文献[10]中，Y.L.Yin和X.Wu研究了方程(1)的高能解的两个存在性结果。在上述文献的启发下，本文运用临界点理论研究问题(1)的非平凡解的存在性。

给出如下假设条件：

(F0)w(x,u)=λα(x)g(u)+μβ(x)f(u);

(F1)G,F∈C1(RN,R)，以及G(0)=F(0)=0;

(F5)存在ξ∈R，使得G(ξ)>0;

(F6)对任意的u∈R，p∈(2,2*)有

|f(u)|≤a1(|u|+|u|p),

定理1假设(V1),(F0)-(F6)成立,那么存在λ1>0使得对每一个λ>λ1，存在e>0使得对每一个μ∈[0,e]，系统(1)至少存在两个非平凡解。

1 预备知识

令

那么E是一个勒贝格空间，内积定义为

并且范数‖u‖E=(u,u)1/2。E*是E的对偶空间。因为对任意的r∈[2,2*)，E是连续嵌入到Lr(RN)，所以对任意的u∈E，存在τr>0使得

‖u‖r≤τr‖u‖E

(3)

引理1(见文献[11])假设I满足条件(V1)，那么对任意的r∈[2,2*)，E是紧嵌入Lr(RN)。

对任意的u∈E,定义

(4)

引理2假设(V1)和(F6)成立，那么I∈C1(E,R)且有对任意的u,v∈E有

(5)

此外，H′,K′:E→E*是紧致的，并且I在E的临界点u是系统(1)的解。

证明 为了证明I∈C1(E,R)和式(5)，可以充分证明H∈C1(E,R)，K∈C1(E,R)以及对任意的u,v∈E有

和

首先，证明H′的存在性。

由(F3)和(F4)，则对任意的ε>0，存在η(ε)>0使得

|g(u)|≤ε|u|+η(ε)|u|2

(6)

以及

其中u∈R。

由式(6)和Hölder不等式，则对任意u,v∈E和δ∈[0,1]，得到

ε|α||u+δv|2|v|2+η(ε)|α|×

ε|α||u+δv|2|v|2+η(ε)|α||u+

(7)

由中值定理和勒贝格控制收敛定理，则对任意的u,v∈E，和一些ρ∈(0,1)有

此外，由式(3)，式(6)和Hölder不等式，则对任意的u,v∈E，有

可见H′(u)是线性且有界的，即H′(u)∈E*。