关于S-系的正合序列及平坦性

2021-02-10李焕云王胜杰

河南教育学院学报(自然科学版) 2021年4期

关键词：定义

李焕云，王胜杰

(河南师范大学新联学院公共教学部，河南郑州 450046)

0 引言

设S是幺半群，一个非空集合A被称作是右S-系，记作AS。如果存在一个映射f:A×S→A,(a,s)|→as,使得对任意的a∈A,s,t∈S,满足(as)t=a(st),a1=1。设A、B是右S-系, 称f:AS→BS是右S-系同态，如果对任意的a∈A,s∈S,满足f(as)=f(a)s。以下除特殊声明以外，S-系均指右S-系。同样的方法，可以定义左S-系以及左S-系同态。

图1 拉回图 Fig.1 pullback diagram

在图1中作张量积A⊗·,则可得交换图如图2所示。

图2 交换图 Fig.2 Commutative diagram

对于图2中1A⊗f1和1A⊗g1映射的拉回,可取P′={(a⊗m,a′⊗n)∈(AS⊗SM)×(AS⊗SN)|a⊗f1(m)=a′⊗g1(n)}。由拉回定义, 则存在唯一同态φ:AS⊗SP→P′,使得拉回图交换，如图3所示。

图3 拉回图Fig.3 Pullback diagram

定义映射φ(a⊗(m,n))=(a⊗m,a⊗n),对任意的a∈A,(m,n)∈SP，则称φ是相对于A来说相应于拉回图P(M,N,f1,g1,Q)的映射。而所有的平坦性质关系如图4所示。

图4 关系图Fig.4 Relation diagram

1 主要结果

引理1[6]令S是幺半群,a,a′∈A,b,b′∈B,则a⊗b=a′⊗b′∈AS⊗SB⟺存在自然数m和元素a1,a2,…,am∈A,b2,b3,…,bm∈B,s1,t1,s2,t2…,sm,tm∈S,使得

a=a1s1,

证明假设(x⊗m,y⊗n)∈P(A⊗M,A⊗N,1A⊗f1,1A⊗g1,A⊗Q),其中x,y∈A,m∈M,n∈N,则x⊗f1(m)=y⊗g1(n)∈A⊗Q，如果有a∈A,(m′,n′)∈P(M,N,f1,g1,Q),使得φ(a⊗(m′,n′))=(x⊗m,y⊗n)，则结论成立。

由于x⊗f1(m)=y⊗g1(n)∈A⊗Q,由引理1, 则存在自然数k和元素a1,a2,…,ak∈A,q2,q3,…，qk∈Q,s1,t1,s2,t2,…,sk,tk∈S，使得

x=a1s1,
a1t1=a2s2,s1f1(m)=t1q2,
a2t2=a3s3,s2q2=t2q3,
⋮ ⋮
aktk=y,skqk=tkg1(n)。

(1)

将g作用于式(1)的左列可得

g(x)=g(a1)s1,g(a1)t1=g(a2)s2,s1f1(m)=t1q2,
g(a2)t2=g(a3)s3,s2q2=t2q3,
⋮ ⋮
g(ak)tk=g(y),skqk=tkg1(n),

即g(x)⊗f1(m)=g(y)⊗g1(n)∈C⊗Q,因此得

(g(x)⊗m,g(y)⊗n)∈P(C⊗M,C⊗N,1C⊗f,1C⊗g1,C⊗Q1)。

由假设，对于C，映射φ相应于拉回图P(M,N,f1,g1,Q)是满的，可得存在c″∈C,m′∈M,n′∈N, 使得φ(c″⊗(m′,n′))=(g(x)⊗m,g(y)⊗n),即g(x)⊗m=c″⊗m′,g(y)⊗n=c″⊗n′。因此存在自然数p和元素c1,c2,…,cp∈C,m2,m3,…,mp∈M,u1,v1,u2,v2,…,up,vp∈S,使得

g(x)=c1u1,
c1v1=c2u2,u1m=v1m2,
c2v2=c3u3,u2m2=v2m3,
⋮ ⋮
cpvp=c″,upmp=vpm′。

(2)

又由条件存在g′:C→A,使得g′g=1A。对于式(2)的左列,将g′作用可得

x=g′(c1)u1,
g′(c1)v1=g′(c2)u2,u1m=v1m2,
g′(c2)v2=g′(c3)u3,u2m2=v2m3,
⋮ ⋮
g′(cp)vp=g′(c″),upmp=vpm′,

可得x⊗m=g′(c″)⊗m′∈A⊗M,同理可得y⊗n=g′(c″)⊗n′∈A⊗N,因此φ(g′(c″)⊗(m′,n′))=(g′(c″)⊗m′,g′(c″)⊗n′)=(x⊗m,y⊗n)。

证明对任意a,a′∈A,m,m′∈M,n,n′∈N, 假设φ(a⊗(m,n))=φ(a′⊗(m′,n′))∈P(A⊗M,A⊗N,1A⊗f1,1A⊗g1,A⊗Q)，其中(m,n),(m′,n′)∈P，即a⊗m=a′⊗m′∈A⊗M,a⊗n=a′⊗n′∈A⊗N,f1(m)=g1(n),f1(m′)=g1(n′)。下面只需证明a⊗(m,n)=a′⊗(m′,n′)∈A⊗P,则结论成立。

由于a⊗m=a′⊗m′∈A⊗M,由引理1, 则存在自然数k和元素a1,a2,…，ak∈A,q2,q3,…，qk∈Q,s1,t1,s2,t2,…,sk,tk∈S，使得

a=a1s1,

(3)

将g作用于式(3)的左列，可得

g(a)=g(a1)s1,

即g(a)⊗m=g(a′)⊗m′∈C⊗M,f1(m)=g1(n),同理g(a)⊗n=g(a′)⊗n′∈C⊗N,f1(m′)=g1(n′),因此φ(g(a)⊗(m,n))=φ(g(a′)⊗(m′,n′))。由假设，对于C，相应于拉回图P(M,N,f1,g1,Q)的映射φ是单同态，因此g(a)⊗(m,n)=g(a′)⊗(m′,n′)∈C⊗P,由引理1，存在自然数r和元素c1,c2,…，cr∈C,(m2,n2),(m3,n3),…，(mr,nr)∈P,x1,y1,x2,y2,…,xr,yr∈S,使得

g(a)=c1x1,

又由于存在g′:C→A,使得g′g=1A。对(3)式的左列作用g′可得

a=g′(c1)x1,

g′(c1)y1=g′(c2)x2,x1(m,n)=y1(m2,n2),
g′(c2)y2=g′(c3)x3,x2(m2,n2)=y2(m3,n3),
⋮ ⋮
g′(cr)yr=a′,xr(mr,nr)=yr(m′,n′),

现已证明a⊗(m,n)=a′⊗(m′,n′)∈A⊗P。