尤文珠，葛海波

（西安邮电大学电子工程学院，西安 710121）

0 概述

随着无线通信技术的快速发展，人们对物联网安全的需求与日俱增，而加密技术可在确保用户身份验证和授权、通信数据机密性和完整性等方面发挥重要作用。自1975年RIVEST、SHAMIR和ADLEMAN提出RSA公钥密码体制以来，其得到了广泛的研究和应用，但该系统严重依赖使用1 024 bit和2 048 bit等大密钥位的整数分解难题（Integer Factorization Problem，IFP）［1］。之后，MILLER［2］和KOBLITZ［3］提出的椭圆曲线密码体制（Elliptic Curve Cryptography，ECC）使该情况得到了改善。ECC具有与RSA相同功能的公钥密码体制［4］，其计算原理是求解椭圆曲线离散对数问题（Ellipse Curve Discrete Logarithm Problem，ECDLP）。相比当前主流的加密系统，ECC以更小的密钥尺寸提供了更高级别的安全性，并且运行速度快，适用于计算资源受限的智能移动终端。

ECC中的标量乘法相比其他运算层是求逆次数最多且最核心的运算，标量乘法的运算速率对实现整个密码体制的性能起到关键作用。标量乘运算又称为点乘运算，即其中，k是一个整数，P为椭圆曲线上的一个基点。在多数情况下，二元表示、非邻接形式（Non-Adjacent Form，NAF）、滑动窗口法以及双基多基标量乘等［5-6］方法通过研究标量k来改进标量乘运算，从而找到更有效表示k的方法。ECC中的多标量乘运算在ECDH［7］等密码协商协议中具有重要作用，可表示为k1P1+k2P2+…+km Pm，在验证椭圆曲线数字签名时通常需要计算kP+JQ［8］，其中，P、Q是椭圆曲线上的两个基点，k、J是两个正整数。ECC中的直接算法、Shamir算法［9］、交错NAF算法［10］等多标量乘算法都是通过将ki分解为0和1比特串使其最大限度地出现零列。

文献［11］提出双基数系统（Double-Base Number System，DBNS）。……