广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、题目呈现与分析

(1)求b;

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1 的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

试题分析题目结构非常简单,是以三次函数为背景的函数导数题.知识方面主要考查导数的运算,函数的切线方程,函数零点的相关问题等;思想方面主要考查分类讨论,转化与化归,方程与函数等思想.综合考查考生对函数、方程、导数、不等式等基础知识的掌握和理解,逻辑思维转化、推理论证及运算等方面的能力.

试题分步设问,逐步推进,由浅入深,重点突出,较好地达到了考查目的.试题第(1)问的设计面向大部分考生,考生只要能理解切线的含义,准确应用导数运算法则就可以解决问题.试题第(2)问是零点有关的证明题,试题的设置为考生的解答提供广阔的想象空间,对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略以及推理论证能力有较高的要求.本题层次分明,区分度高,是一道能突出选拔学生功能的好题.

由于问题(1)较为简单,本文不作讨论,下面从不同视角,给出问题(2)的几种证法,抛砖引玉.

二、解法探析

1 视角一:利用零点存在性定理

评注“函数零点的存在性定理”在零点问题中应用广泛,一般来说:要求证一个函数“有且只有一个”零点,可先用“函数零点的存在性定理”证明函数存在零点;再证明函数为单调函数,即得函数零点的唯一性.其依据为:如果函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,并且f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在区间(a,b)上至多……