湖北恩施州教育科学研究院(445000) 周威

一、试题呈现与问题提出

例1(2020年全国I 卷理科21 题、文20 题)已知A,B分别为椭圆E:1(a＞1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,为直线x=6 上的动点,PA 与E 的另一交点为C,PB 与E 的另一交点为D.

图1

(1)求E 的方程;

(2)证明:直线CD 过定点.

评注此题以椭圆与直线最基本的问题情境作为进行任务创设和基本知识能力运用考查的载体,重点考查学生数形结合、化归转化思想,强调直线代入圆锥曲线方程通性通法的应用.对于直线过定点问题,要么先设点P 坐标,然后把直线AP,BP 的方程分别与椭圆方程联立,求出C,D 两点的坐标,对于处理定点问题,可对CD 直线方程化简,得出过定点;也可以先确定点,再通过三点共线求定点;要么设CD 的直线方程x=my+n 及C,D 的坐标,联立椭圆方程,通过设而不求,找到m,n 的关系,进而得到直线过定点(请读者解答).因此,上述解法具有代表性和通法性,体现了高考“四翼”中的基础性.

那么基于此问题情境,其背后的命题立意、高等数学背景和相关拓展是怎样的? 为此,有以下问题导向:

问题1第(2)问命题立意时,如何从高观点视角确定CD 与x 轴的交点就是固定的?

问题2当椭圆E 和直线x=6 都为一般情形时,直线CD 过定点坐标是怎样的?

问题3如果将椭圆E 改为双曲线的情形,是否有类似结论?

图2

二、基于极点极线的问题探究与结论

如果站在极点极线高观点下,对上述问题的思考就能让人豁然开朗.极点极线是高等几何中关于二次曲线的有关概念,与高中阶段圆锥曲线的……