广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东

数形结合是重要的数学思想方法之一,我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.在解决函数问题时,我们经常会采用数形结合的思想和方法,通过数与形之间的对应与转化来解决函数问题,使得复杂的问题简单化,抽象的问题直观化.由于我们在数形结合时,作出的一般只是函数的大致图像,但是有些时候需要我们对函数的细节把握的更清楚,这些细节是数学结合中的“隐患”,作图时如果不消除这些“隐患”,往往就会导致严重的错误.本文就数形结合中常见的一些“隐患”举例说明,以期将这些“隐患”消除在萌芽中!

一、由定义域导致的“隐患”

图1

图2

二、由增长速度导致的“隐患”

例2函数h(x)=2x-x4的零点的个数为____.

解函数h(x)=2x- x4的零点的个数⇔方程2x-x4=0 的解的个数⇔函数f(x)=2x与函数g(x)=x4图像交点的个数.在同一坐标系中作出这两个函数的图像(如图2),容易看出这两个函数图像有两个交点.由于f(x)=2x和g(x)=x4在(0,+∞)上都为增函数,且随着x的变大,函数f(x)=2x的增长速度会远远超过g(x)=x4的增长速度,又h(2)＜0,h(20)=220-204=324-204＞0,故在(2,20)内两函数图像还会有一个交点.综上函数h(x)零点的个数为3 个.

评注因为函数f(x)=2x与函数g(x)=x4增长速度都比较快,数形结合很难直观完整的反映出两者图像直接的关系,作图时若不考虑到它们之间的增长差异性,则会得出两个零点的错误结论!

图3

图4

三、由渐近线导致的“隐患”

图5

图6

四、由凹凸性导致的“隐患”

评注本题若没有考虑到f(x)在(2,+∞)上的凹……