鲍玲鑫

(福建农林大学计算机与信息学院，福建福州350002)

经典统计收敛的概念是在X=R中引入的，此后基于不同的目的，出现各种各样推广形式的统计收敛.概括地讲统计收敛沿着以下两个方向推广：一是在更为一般的空间中定义统计收敛，例如，局部凸空间[3]，包括赋予弱拓扑的Banach空间[4-6]和一般拓扑空间[7].另一个是利用不同的极限过程来定义统计收敛，例如，A-统计收敛[8]、lacunary统计收敛[9]以及最为一般的理想(或滤子)收敛[10-11].

伴随着每一种推广形式的统计收敛的引入，关于统计收敛与经典收敛之间的关系都是人们研究的热点问题.其中一个核心的定理是度量空间X中序列的统计收敛与几乎处处收敛是等价的，即序列(xn)⊂X统计收敛于x∈X当且仅当存在一个统计零集G⊂N使得(xn)n∈N G在度量拓扑意义下收敛于x(例如X=R,可参考文献[12-13]).Maio等[7]证明了当X是第一可数空间时，则上述定理也是成立的.尽管如此，但该结论反过来却不成立.具体地，第2节中的第1个反例即构造了一个非第一可数的拓扑空间(X,τ)使得定义在X上统计收敛与几乎处处收敛是等价的.

Bao等[14]证明了对于任意一个自由的滤子F⊂2N，都存在一族统计测度S使得S-收敛等价于F-收敛，反之亦然.最近，Cheng等[15]证明了一系列由单一统计测度定义的滤子收敛的特征，并在文末提出如下问题(参见文献[15]，Remark 5.7).

问题1由单一统计测度μ定义的统计收敛是否等价于μ-几乎处处收敛？或特别地，由单一退化的统计测度μ定义的统计收敛(或等价地，超滤子U-收敛)是否等价于μ(U)-几乎处处收敛？……