甘 宁

(集美大学理学院,福建厦门361021)

1 Hopf流形及相关概念

Hopf[1]在1948年引进了经典的主Hopf流形，并证明了它是非Kaehler流形从而是非代数流形.Kodaira[2]详细研究了Hopf曲面的性质，Ise[3]计算了Hopf流形上的Dolbeault同调群，Kato[4]研究了Hopf曲面的分类.近段时间研究的一个关注点在Hopf流形上的向量丛，这方面的结果可参考文献[5-9].

复流形上向量丛的Betti数、陈类及Euler示性数等数字特征，是研究向量丛的全纯结构的基本不变量，例如对于2维复流形上全纯向量丛是否存在可滤结构，就与向量丛的陈类密切相关，这方面的结果可参考文献[10].本文计算了高维Hopf流形的数字特征，并且得到了Euler示性数与陈类的关系.

Hopf流形M是一个n维的紧复流形，当n=2时也称作Hopf曲面，其万有覆盖空间双全纯等价于Cn-{0}，它可以表示为商空间的形式M=W/G，其中W=Cn-{0}，G是穿孔复空间Cn-{0}的自同构构成的群，且G是真的不连续以及固定点自由的，G被称为W在M=W/G上的覆盖变换群.当G是无限循环群时，M称为主Hopf流形，否则称为第二类或者非主Hopf流形.

本文中称映射f:(Cn，0)→(Cn，0)，n≥2为一个收缩，它表示f∈Aut(Cn)，f(0)=0,且当n→∞时，fn(B)收敛于0,这里B是Cn中的闭球.若f∈Aut(Cn)，f(0)=0,且具体形式为：f:(z1,z2,…,zn)→(μ1z1,μ2z2,…,μnzn),其中μ1,μ2,…,μn为f′(0)的特征值，且都落在单位圆盘内，则称f为对角收缩.由文献[2,11]可知Hopf流形的基本群G包含一 个收缩f，收缩f生成的无限循环群Z={f}在G中的指数有限，而且{f}位于G的中心，因此{f}是G的正规子群，群G/{f}同构于G中的有限子群H.{f}称作G的无限部分，H称作G的有限部分.因此Hopf流形的基本群G可以写做G={f}·H，即覆盖变换群为无限循环群Z和有限群H的半直积，且对于∀h∈H，f·h=h·f.

2 Hopf流形上的Betti数和陈……

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