李德乐,曹慧芹

(1.福建水利电力职业技术学院公共基础部，福建永安366000;2.厦门大学数学科学学院，福建厦门361005)

设G是40阶群，即是23×5阶群.张远达[1]和徐明曜[2]已经分析了40阶群的构造，但是群的构造比较抽象[1,3]，缺乏具体构造方法.本文将继续沿着文献[4]的思路，运用文献[5]的方法，利用Sylow定理，构造G的14种同构类型的群(同构意义下，同构群视为一类群).

对于40阶群，根据Sylow定理，容易看出Sylow 5-子群是正规子群.本文将证明如下定理：

定理1设G是40阶群，P∈Syl2(G),Q∈Syl5(G).G有14种同构类型：(i)P◁G，则G有5种同构类型，见表1中序号1～5所对应的群；(ii)P◁G，则G有9种同构类型，见表1中序号6～14所对应的群.进而应用定理1的方法同理构造了13种56阶群的同构类型.

1 预备知识

在证明定理1之前需要下面一些基本结论：

证明参见文献[5]中定理1的证明.

推论1在引理1的条件和符号下，所有可能的半直积同构类个数恰好等于Ω的Γ-轨道个数.

证明参见文献[5]中推论1的证明.

引理2(Sylow定理)设G是有限群，p是素数且pn‖|G|(即pn||G|但pn+1

|

|G|)，则

(i)G必有pn阶子群(称为G的Sylowp-子群).

(ii)G的任意Sylowp-子群皆在G中共轭.

(iii)G的任意Sylowp-子群的个数np是G的因子，且np≡1(modp).

证明具体参考文献[2]证明.

2 定理1的证明

设G是40=23×5阶群，则G必是可解群.设P∈Syl2(G),Q∈Syl5(G),根据Sylow定理，可得Q◁G.下面只考虑P◁G或P◁G两种情况.P同构于8阶群的5种不同类型：

(i) 循环群C8，(ii) 交换群C4×2，即(4,2)-型交换群，(iii) 初等交换群K8，(iv) 二面体群D8，(v) 四元数群Q8，且Q=C5是5阶循环群.

情形1：当P◁G,Q◁G时,则G有5种同构类型：

1)G=〈a,b|a5=b8=1,[a,b]=1〉(循环群)，

表1 40阶群的生成关系表Tab.1 Generating relation table of groups of order 40

2)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,[a,b]=[b,c]=[c,a]=1〉(交换群)，

3)G=〈a,b,c,d|a5=b2=c2=d2=1,[a,b]=[b,c]=[c,d]=[d,a]=1〉(交换群)，

4)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,c-1bc=b-1,[a,b]=[a,c]=1〉(C5×D8)，

5)G=〈a,b,c|a5=b4=1,b2=c2,bc=cb-1,[a,b]=[a,c]=1〉(C5×Q8)，

其中a∈Q,b、c、d∈P.

G的结构由P完全决定.令Q=〈a〉=C5，P是8阶群，有5种不同的结构.当P依次取遍8阶群5种不同的结构……