银鹤凡，王 琦

(广东工业大学 应用数学学院，广东 广州 510006)

0 引言

近年来，针对延迟微分方程数值解性质的研究受到了越来越多的关注[1-4]，特别是对于具有分段连续自变量的微分方程(differential equations with piecewise continuous arguments，简写为EPCA)[5-8]。由于时间整数函数在本质上就是延迟项，所以EPCA可被看作是一种特殊的延迟微分方程。文献[9,10]和[11,12]分别讨论了EPCA数值解的稳定性和振动性。同时，由于EPCA在结构上分别具有微分方程和差分方程的特征，所以在现实生活中发挥了重要作用(见文献[13-16])，也使得对于EPCA的研究更加具有理论价值和实际意义。

本文主要研究超前型EPCA的数值振动性。运用微分方程与差分方程的振动性理论，获得了原方程的数值振动性条件，进一步探讨了振动性与稳定性的内在联系。

考虑方程

x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1]),x(0)=c0,

(1)

其中[t]表示取t的整数部分。

记

b0(t)=eat+a-1a0(eat-1),b1(t)=a-1a1(eat-1),λ=b0(1)/(1-b1(1))。

(2)

定理1[17]如果b1(1)≠1，则方程(1)在[0,∞)上存在如下形式的唯一解

x(t)=(b0({t})+λb1({t}))λ[t]c0,

(3)

其中{t}=t-[t]。

定理2[17]方程(1)的解在t→∞时是稳定的(或渐近稳定的)，当且仅当

(4)

定理3[17]如果下列条件

(5)

成立，那么方程(1)的解在区间(n,n+1)内有零点

如果式(5)不成立，并且a0≠-aea/(ea-1),c0≠0,那么式(3)在[0,∞)上没有零点。

微分方程和差分方程的振动性概念如下。

如果存在序列{nk}，使得当k→∞时有nk→∞且x(nk)x(nk-1)≤0，则称方程(1)的非零数值解是振动的，否则称为非振动；如果方程(1)的所有非零数值解都是(非)振动的，那么就称方程(1)的差分方程(或差分格式)是(非)振动的。

1 数值解的振动性

1.1 差分格式

令步长h=1/m，将θ-方法(具体形式参见文献[18])用于求解方程(1)，得到如下递推关系式

(6)

其中z=ha,l=0,1,…,m-1,R(z)=1+z/(1-θz)。

式(6)经迭代，分别可得方程(1)在整数与非整数节点的递推格式