江苏省金湖县第二中学 (211600) 梁加林

含绝对值的不等式是一个综合性问题，而其与不等式相结合的问题是高考和其他选拔性考试中加大区分度的重要选择内容之一，其求解过程需要综合考虑，在用好绝对值不等式的性质的同时，需要考察具体题目的特点，研究出题者的考试意图和目的，制定合理可行的富有特色的将它方案．本文从如何分析题目、解决具体问题的角度出发，介绍八种常见的推理策略，希望给读者朋友一点启发．

一、分析推理

在一些相对复杂的不等式问题的推理过程中，经常采用“由果索因”的手段，即从结论出发步步逆推，直到找到能使结论成立的理论依据，这样也就完成了题目证明的过程．

例1 已知函数f(x)=|x+1|，若|a|>1,|b|>1，求证：f(ab)>f(a)-f(-b).

证明：因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|，所以要证f(ab)>f(a)-f(-b)，只需证|ab+1|>|a+b|，即证|ab+1|2>|a+b|2，即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，即证a2b2-a2-b2+1>0，即证(a2-1)(b2-1)>0.因为|a|>1，|b|>1，所以a2>1，b2>1，所以(a2-1)(b2-1)>0成立，所以原不等式成立.

评注：由于要证的不等式中含有绝对值符合，比较复杂，直接用综合推理不太顺畅，所以采用了分析法.一般的，如果含有分式、根式、绝对值等问题采用分析法效果是明显的．

二、活用公式

利用绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,进行“放大”或“缩小”是解决与绝对值相关的不等问题最常用的思路．

例2 已知f(x)=ax2+bx+c对于一切实数x∈[-1，1]都有|f(x)|≤1，证明对于一切x∈[-1，1]都有|2ax+b|≤4．

解析：从|f(x)|≤1到|2ax+b|≤4需通过一些特殊的函数值来建立不等关系，如f(0),f(-1),f(1)等，然后用绝对值不等式来证明．依题意可知|f(0)|≤1，|f(-1)|≤1，|f(1)|≤1，即|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1,则|2a+2c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,即|a+c|≤1,所以|2a+b|=|(a+b+c)+(a+c)-2c|≤|a+b+c|+|a+c|+|2c|≤4, 且|2a-b|=|(a-b+c)+(a+c)-2c|≤|a-b+c|+|a+c|+|2c|≤4,又当x∈[-1,1]时, |2ax+b|≤{|2a+b|,|2a-b|}，所以|2ax+b|≤4．

评注：在“放大”或“缩小”的过程中，其关键是合理的配凑，就是将需要证明的结论通过适当的配凑分解成与……