姚 勇，王挽澜，秦小林

(1.中国科学院成都计算机应用研究所，四川 成都 610041；2.成都大学信息科学与技术学院，四川 成都 610106)

首先来看一个不等式的例子

例1：设n是正整数，证明对任意两两不等的非负实数a，b，c都有

证明:考虑函数

引进参数t，从对称性、两两不等且和非负，可设a＞b＞c≥t≥0.考虑t的函数

我们要证明g(t)是一个单调减函数.对g(t)求导数(注意到g(t)的分母中不含有t，容易求导数)，获得

对g′(t)再求一次导数(这里求导依然是简单的)，得到

因为a＞b＞c≥t≥0，我们有g″(t)≥0.因此，g′(t)是单调增函数。记显然A＞0.于是得到

从g′(t)≤0推出g(t)是一个单调减函数.因此，我们有

最后只需证明f(a-c，b-c，0)≥0.也就是要证f(a，b，0)≥0.换言之

这是一个熟知的不等式.它等价于

使用算术-几何平均不等式有

两式相加除以( 4n+1)即证得不等式(2).

这样我们就完成了不等式(1)的证明.

上面的例子显示了函数f的一个特性:它关于变元t是单调递减的.这个特性我们称之为对角递减性.类似例1这样的例子并不是罕见的，事实上有较大的一类函数具有这种属性，可参考文献[1-6].本文中我们将对这类函数作相对深入的研究.

注释1例1中n=1的情况属于四川师范大学李昌勇.

注释2书[3]中阐述了与例1中类似的方法，称为全导数方法.书中也仅仅是使用该方法去证明不等式，并未对方法本身加以研究.

现在，来正式引入对角递减性的概念.

定义1：令x=(x1，…，xn)，实空间Rn中第一卦限记为(不含原点)，即

齐次函数f(x)如果满足对任意的点x都有

其中0≤t≤min{x1，…，xn}，则称函数f(x)在上具有对角递减性.

对角递减性有一个几何解释……