李 琴，陈光淦

1. 四川师范大学 数学科学学院/可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室，成都 610068； 2. 四川省江油中学，四川 江油 621700

波动方程是最重要的数学物理方程之一，它是关于时间的二阶偏微分方程，描述了振动在介质中的传播，在光波、声波和水波等自然现象中被广泛研究．惯性流形和稳定流形等不变流形刻画了系统动力学特征和有效行为．文献[1]证明了随机波动方程不变流形的存在性：文献[2]研究了随机波动方程的惯性流形的存在性．

本文考虑带加性白噪声的随机波动方程

u(0，x)=u0(x)，ut(0，x)=u1(x)，u(t，0)=u(t，π)=0

(1)

其中：ν>0，D=[0，π]，W(t)是双边的L2(D)值的Q-维纳过程，其协方差算子Q满足trQ<∞．假设非线性项f在L2(D)上是全局Lipschitz连续的，并且Lipschitz常数是Lf．

由于维纳过程W(t)处处连续，处处不可导，文献[3-4]从数值模拟与计算角度研究了随机微分方程的逼近：文献[5]用光滑的Φε(t)去近似不光滑的W(t)，得到随机微分方程的刻画：文献[6]通过一类平稳过程研究了Wong-Zakai型的近似．

考虑近似随机系统

(2)

1 预备知识

其中Lf为Lipschitz常数．

令

其中I为恒等算子．

方程(1)等价于下面的方程组

(3)

其中(u，v)Τ∈E．

方程(2)等价于下面的方程组

(4)

设

由ek的正交性，容易验证E1⊥E22，E-1⊥E22．再由文献[8]可知，在E11和E22上定义新内积

有E1⊥E-1，那么E1⊥E2．显然，E1⊕E2=E．那么算子A满足下面条件(指数二分性)：

‖eAtP1x‖E≤Keαt‖x‖E，t≤0

‖eAtP2x‖E≤Keβt‖x‖E，t≥0

(5)

其中β<α<0，K>0，I=P1+P2．记E1=P1E和E2=P2E．

定义1设(Ω，F，P)是一个完备概率空间，θ={θt}t∈R是Ω上的变换族，定义映射

如果映射θt满足如下条件

则称(Ω，F，P，θ)为驱动动力系统．

定义2设(H，dH)是一个完备度量空间，如果映射

满足下面性质

φ(0，ω，x)=x

φ(t+τ，ω，x)=φ(t，θtω，φ(t，ω，x))，τ∈R，ω∈Ω，x∈H

则称θ和φ构成的二元组(θ，φ)为一个随机动力系统．

定义3对于随机动力系统φ(t，ω，x)，如果对任意的t≥0，ω∈Ω，有

φ(t，ω，M(ω))⊂M(θtω)

那么随机集M(ω)称为正不变集……