赵锦玮，朴光日

(延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

本文考虑如下Navier -Stokes系统的初边值问题:

(1)

其中： Ω是有界开集;ν=Re-1， Re为Reynolds数;u表示流体速度向量;p为压力;f为体积力.

Navier -Stokes方程能够反映黏性流体流动的基本力学规律，因此该方程常被用于解决工程技术中的流体力学问题.近年来，许多学者研究了Navier - Stokes方程最优控制问题的数学逼近理论，并且给出了求解非定常流动控制问题的数值方法[1-4].在对Navier - Stokes方程求解时，若采用有限元方法，则会出现一个非常大的非线性代数方程组，计算难度较大，尤其是对于反馈控制或最优化控制的问题.研究表明，利用降维法不仅可以保证计算的精度，节省计算机的内存，而且还可以大幅度提高计算效率.特征正交分解法[5]作为降维方法的一种，其实质是在最小二乘的意义下找到能够代表已知数据的正交基.在对Navier - Stokes方程降维模型的相关研究中，目前大多只是对其进行了数值分析，而对其进行理论分析的较少；因此，本文运用POD方法讨论Navier - Stokes系统降维模型的线性反馈控制问题，估计了线性反馈控制问题的降维模型解与有限元解之间的误差，并给出了计算降维模型解和跟踪速度问题的算法.

1 主要符号和Navier -Stokes方程的全离散格式

其中Di j(u)=(∂ui/∂xj+∂uj/∂xi)/2.

为了使给出的三线性形式具有反对称性[6]，本文给出如下的三线性形式：

上述三线性形式具有如下性质[6]：

a3(w;u,v)=-a3(w;v,u)，a3(w;u,u)=0，

(2)

(3)

F(x,t)=Ut(x,t)-νΔU(x,t)+U·U(x,t).

(4)

Xh={vh∈C0(Ω)∩X;vh|K∈P2(K),∀K∈h}，

(5)

2 POD基的构造

(6)

构造POD方法的目的是通过求标准正交基φj(j=1,2,…,L)使元素ui(1≤i≤L)与式(6)的d项和之间的均方误差最小，即通过求标……