迟晓妮， 崔然然， 杨绮丽， 赵 敏

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004;2.桂林电子科技大学 广西密码学与信息安全重点实验室，广西 桂林 541004;3.桂林电子科技大学 广西自动检测技术与仪器重点实验室，广西 桂林 541004)

n维二阶锥Kn定义为

Kn={x=(x1;x2)∈R×Rn-1:x1≥‖x2‖}，

考虑二阶锥权互补问题(WSOCCP)：寻找一向量ζ∈Rn，使得

(1)

其中F(ζ):Rn→Rn为连续可微函数，w∈Kn为给定的权向量。当权向量w为零向量时，式(1)退化为二阶锥互补问题(SOCCP)[1]：

(2)

作为一类重要的锥优化问题，WSOCCP是Rn上的权互补问题(WCP)在二阶锥上的推广，其在经济学、力学、工程设计等方面有着广泛的应用[2]。WCP中非零权向量的存在使得WCP[3-5]的理论和算法比互补问题(CP)复杂得多，因此目前关于WCP的研究并不多见，如Zhang[6]运用光滑牛顿法求解单调线性WCP，Tang[7]给出一种新的光滑算法求解大规模线性WCP。

下降算法是求解CP的有效算法[8-9]，其基本思想是基于效益函数将原问题转化为一个等价的无约束极小化问题[10]，利用下降算法求解此极小化问题，进而得到原问题的解。

鉴于此，提出一类含参数二阶锥权互补函数，构造WSOCCP的效益函数，讨论其光滑性，并基于此效益函数将WSOCCP转化为无约束极小化问题，利用下降算法求解，从而得到原问题的解。

1 预备知识

与二阶锥相伴的欧几里得约当代数有如下性质[11]。

对任意

x=(x1;x2)∈R×Rn-1,y=(y1;y2)∈R×Rn-1，

x和y的约当积定义为

定义箭形矩阵

其中I为适当维数的单位阵，易证

定义1(谱分解) 对任意

x=(x1;x2)∈R×Rn-1，

与二阶锥相伴的谱分解定义为

x=λ1(x)u1(x)+λ2(x)u2(x)，

谱值λ1(x)、λ2(x)和谱向量u1(x)、u2(x)定义为

λi(x)=x1+(-1)i‖x2‖,i=1,2,

其中ω∈Rn-1为满足‖ω‖=1的任意向量。对任意x∈Rn，有

2 一类含参数效益函数

定义函数φτ(x,y):Rn×Rn→Rn为