徐志强

在古埃及，尼罗河年年洪水泛滥，洪水退后，便会出现不规则的新田。在当时，如何分地才能使得每块田都有合适的尺寸和形状呢？古埃及人用12个等距离的绳结，就能构造出边长为3、4、5的直角三角形，然后又通过拼凑三角形，得到许多其他图形。

3、4、5是满足勾股定理的3个整数，被称为勾股三元数。在西方，勾股定理又叫作毕达哥拉斯定理，相传是由毕达哥拉斯发现的。毕达哥拉斯青年时期远赴埃及，甚至到印度，学到了很多知识，尤其是数学。对他而言，数字是神圣的，他相信整个宇宙都是以整数建立的。毕达哥拉斯认为，小数不属于自然界，任何事物都可以用整数解释。

但是，这个想法有个大问题，恰恰来自勾股定理本身。

例如，我们设正方形的边长是1，从一个角画一条对角线，就得到两个直角三角形，那么它的弦有多长呢？勾和股都是1，弦长就是[2]。什么数自乘等于2呢？這可没有整数解，只有一串复杂的小数。因此，这个简单的勾股定理例子表明了毕达哥拉斯的理念并不成立。

希帕索斯是毕达哥拉斯的门徒，相传他最先发现了[2]的问题并把这个大秘密泄露了出去。当时，这一“悖论”直接触犯了毕达哥拉斯学派的根本信条，导致人们在数学认识上出现了“危机”。这次危机也被称为第一次数学危机。

同学们现在知道[2]是无理数，但是你们能证明吗？让我们一起来试试。

同学们现在大致能理解这个危机中的矛盾，但是数学史上却有很多问题让数学家花了大量的时间进行研究。……