常静锋

笔者最近参加了靖江市初中数学青年教师教学基本功大赛。在笔试环节，有这样一道几何证明题：请用直接证明的方法求证对角互补的四边形是圆的内接四边形。即：

已知：如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求证：四边形ABCD内接于一个圆。

笔者由于经常参加所在市初中数学试卷的调研、命题，所以，对于初中数学解题，还是比较自信的。看到这样的问题，笔者首先想到了反证法。

如图2，过A、B、C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D可能在⊙O内或在⊙O外。

假设点D在⊙O内，连接并延长BD必与⊙O相交。设交点为D′，连接AD′、BD′，则必有∠AD′C+∠ABC=180°，因为∠AD′B<∠ADB，∠CD′B<∠CDB，所以∠AD′C<∠ADC，所以∠ADC+∠ABC>180°，这与“∠A+∠C=180°”矛盾，说明点D不可能在⊙O内。同样可证明点D不可能在⊙O外，故点D只能在⊙O上，即四边形ABCD内接于一个圆。

我们知道，一个命题的逆否命题与原命题等价，而反证法的本质就是证明原命题的逆否命题。通常在直接证明比较困难的情况下，用反证法更容易。这道题也可用直接证明的方法，但是，参加比赛的教师中居然没有一位教师能够直接证明出来。考试结束后，数学教研员给我们进行了讲解：

由于∠A+∠C=180°，而四边形ABCD的内角和为360°，所以∠A+∠C=∠B+∠D。

（1）若∠A=∠B，则∠C=∠D，有四边形ABCD是等腰梯形，且AB∥CD（如图3）。作AB的垂直平分线l1，l1必然垂直平分CD，作AD的垂直平分线l2，l2交直线l1于点O，连接AO、BO、CO、DO，则有AO=BO=CO=DO，所以四边形ABCD一定有外接圆。

（2）若∠A≠∠B，不妨设∠A>∠B，由∠A+∠C=∠B+∠D，有∠A-∠D=∠B-∠C。

如图4，分别在∠A、∠B内作射线AG、BG，使得∠1=∠D、∠2=∠C，两条射线相交于点G，且分别与CD相交于点E、点F。

如果点G恰好在CD边上（即E、F、G三点重合），则有GA=GB=GC=GD，那么四边形ABCD内接于一个圆。

如果点G不在CD边上，分别作AD、BC的垂直平分线l3、l4相交于点O，所以OA=OD，OB=OC。……