吴 睿, 高珊珊, 程 毅

(1. 长春财经学院 数学教研部, 长春 130122; 2. 辽宁理工学院 信息工程学院, 辽宁 锦州 121000;3. 渤海大学 数学科学学院, 辽宁 锦州 121000)

1 引言与预备知识

近年来, 关于发展方程或发展包含的非局部问题已引起人们广泛关注[1-3]. 非局部映射在物理学领域应用广泛, 该映射包含了周期、 反周期、 积分边值等条件[4-7]. Cheng等[8]考虑了一类具有时变时滞的分数阶微分系统, 在非局部条件下, 利用不动点定理和半群理论研究了该系统的精确可控性. 本文考虑在有限维空间内一类分数阶微分包含非局部条件下解的存在性.

令T∶=[0,b], 用n表示n维实Euclid空间, 〈·,·〉表示n中内积, ‖·‖表示n空间由内积导出的范数. 设C(T,n)表示从T到n的连续函数全体组成的空间, 定义其范数为n)表示T上的Lebesgue-Bochner可积函数空间, 定义其范数为其中分数阶微积分定义目前有Riemann-Liouville型、 Grünwald-Letnikov型和Caputo型等, 本文考虑一类Caputo型分数阶微分包含的非局部问题. 关于分数阶微积分的基本概念和性质参见文献[9].

2 主要结果

考虑如下非局部条件下的分数阶微分包含问题：

(1)

其中α∈(0,1),A:n→n是一个线性算子,B:T×n→n是一个非线性函数,G:T×n→2{Ø}是一个集值映射,φ:C(T,n)→n是一个非局部映射.

定义1若函数z(t)∈C(T,n), 对几乎处处t∈T, 存在函数g(t)∈G(t,z), 使得

成立, 则称z(t)是包含问题(1)的解.

由文献[10]中注7.1及定义1知, 包含问题(1)的解等价于

(2)

Ωσ∶={z∈C(T,n): ‖z‖C<σ},

其中σ>0是一个常数. 显然Ωσ是C(T,n)的一个有界开集. 本文假设条件如下：

(H1)A:n→n是一个有界、 线性的正定算子, 对任意的z∈n, 存在常数c∈+, 使得〈Az,z〉≥c‖z‖2.

(H2)B:T×n→n是非线性函数, 满足:

(i) 对任意的t∈T,z∈n,t→B(t,z)是可测的,z→B(t,z)是连续的；

(ii) 对几乎所有的t∈T和任意的z∈C(T,n), 均存在一个连续非负函数h:→, 使得‖B(t,s)‖≤h(‖s‖), 其中其中c是(H1)中的常数；