刘天泽, 张 勇, 谭希丽

(1. 北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013; 2. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012)

1 引言及主要结果

考虑如下非线性自回归模型

Xi=rθ(Xi-1,…,Xi-s)+εi,

(1)

其中: {Xi}是一个严平稳过程;rθ为s→上的实值可测函数,θ=(θ1,…,θq)′∈Θ⊂q是参数向量; {εi}是均值为0、 方差为σ2的独立同分布随机误差, 有未知的密度函数f. 假设Xi-1,…,Xi-s和{εi}独立. 显然, 模型(1) 包含了一系列非线性时间序列模型, 在金融统计中已得到广泛关注[1]. Cheng等[2]研究了随机误差的拟合优度检验; 文献[3-5]讨论了随机误差的密度函数估计问题； 傅可昂等[6]研究了重尾非线性模型自加权M-估计的渐近正态性.

Berry-Esseen不等式[7-8]表示随机变量序列{Xn,n≥1}前n项正则化和的分布函数Fn(x)与标准正态分布函数Φ(x)之差趋于零的收敛速度, 目前已取得许多研究成果. Parzen[9]证明了独立同分布情形下, 随机变量序列核密度估计的Berry-Esseen 界可达O((nhn)-1/2)； 文献[10-11]研究了不同情形下的Berry-Esseen界问题. 本文基于文献[9], 给出非线性自回归模型误差密度估计的Berry-Esseen界.

下面给出模型(1)的误差核密度函数. 假设核函数K(·)是上给定的Borel可测函数, 窗宽hn>0是与n有关的常数, 满足模型(1)的误差密度估计为

(2)

下面给出几个基本假设.

(3)

(H3) 假设K是上的有界变差函数,K″是有界的, 且对每个δ>0, 有

注1由模型(1), 假设Xi-1,…,Xi-s和{εi}独立, 易知εi与Yij独立.

注2Klimko等[12]给出了随机过程的条件最小二乘估计满足式(3)的重对数律； 非线性情形下, Liebscher[13]研究了非线性自回归模型参数θ的M估计的重对数律.

本文假设C表示正常数, 在不同之处可表示不同值,Φ(·)表示标准正态分布函数. 本文主要结果如下：

定理1对定点……