林府标, 张千宏

(贵州财经大学 数统学院, 贵阳 550025)

0 引 言

Liouville方程

uxt=eu

(1)

是流体力学中的一个经典非线性偏微分方程, 其精确解的动力学行为已得到广泛关注. 文献[1]给出了方程(1)可接受的无穷小李对称； 文献[2-3]给出了方程(1)的一些精确解. 目前, 显式解析波解及其特征在海洋工程、 光纤通信、 材料科学和流体力学等领域应用广泛[4]. 虽然人们已经构造了一系列解析求解非线性偏微分方程的有效方法, 如齐次平衡法[5-7]、 tanh函数法和广义tanh函数法[3,8-10]等, 但因非线性偏微分方程的多样性和复杂性, 至今仍有一些重要的方程无法采用现有的方法和技巧得到精确解. 本文用Liouville方程(1)的约化变换方程及其精确解构造一种精确求解非线性偏微分方程的有效ψ(ξ)展式法, 并用该方法寻找Kawahara方程和(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的显式新行波解.

1 Liouville方程的群不变解和精确解

1.1 Liouville方程的群不变解

Lie[1]给出了Liouville方程(1)可接受的李对称, 并由下列一组基生成：

其中ξ(x),η(t)为任意函数,X∞为无穷李对称. 根据文献[11]中算法, 可写出三维李代数L3=span{X1,X2,X3}的换位子交换运算, 结果列于表1.

表1 三维李代数L3的换位子交换运算表Table 1 Commutator exchange table of three-dimensional Lie algebra L3

由表1可得相应的内自同构为

求其对应的李方程可得群变换

其中σi(i=1,2,3)分别为内自同构Ai(i=1,2,3)的群参数. 因此, 对任意的实数c, 李代数L3的最优化三维、 二维和一维子李代数分类结果分别为span{X1,X2,X3},span{X1,X2},span{X1,X3},span{X2,X3},span{X1},span{X2+cX1},span{X3}. 用L3的一维最优化子李代数可得方程(1)的群不变解, 结果列于表2, 其中一维子李代数span{X1}对应的群不变解未找到.

表2 方程(1)的群不变解和约化方程Table 2 Group invariant solutions and reduced equations of equation (1)

1.2 Liouville方程的……

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