赵彦军, 李辉来, 李文轩

(1. 东北师范大学人文学院 数学系, 长春 130117; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

微分方程的数学模型在描述动态行为方面具有重要作用, 广泛应用于生物学、 物理学和医学等领域. 为控制传染病的传播, 通常通过建立数学模型研究传染病的动力学行为. Kermack等[1]首次提出了传染病仓室模型的“阈值理论”, 为传染病动力学的研究奠定了基础. 目前, 对传染病模型的阈值动力学行为研究已有许多成果. Capasso等[2]通过研究如下确定性SIS传染病模型：

(1)

其中:S(t)表示t时刻易感者数量,I(t)表示t时刻传染者数量, 且N=S(t)+I(t);β表示疾病的接触率;μ表示疾病的死亡率;γ表示疾病的恢复率.

(2)

其中，B(t)是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上的标准布朗运动，σ表示高斯白噪声的强度. 文献[5]得到了系统(2)全局阈值动力学行为的结果.

尽管在经典传染病模型中, 双线性发生率被广泛使用, 但在高传染水平下, 由于心理作用和社会因素的影响, 易感者减少与感染者接触和防护措施的增强, 使易感者和感染者间的有效接触率会趋于饱和状态. Capasso等[2]在研究意大利巴里爆发霍乱时最早提出了具有饱和效应的非线性发生率, 得到了与实际情况吻合的结果, 此后各种非线性饱和发生率被广泛应用于传染病模型研究中, 均得到了较好的结果.

本文在系统(2)的基础上, 进一步考虑疾病爆发过程中“心理作用”导致饱和效应发生率的随机SIR传染病模型：

(3)

(4)

易得

d(S(t)+I(t))=[μN-μ(S(t)+I(t))-(δ+ν)I(t)]dt≤[μN-μ(S(t)+I(t))]dt,

则

S(t)+I(t)≤N+e-μt(S(0)+I(0)-N).

因此Γ={(S,I):S(t)>0,I(t)>0,S(t)+I(t)≤N}是系统(4)的正向不变集.

1 系统正解的存在唯……

登录APP查看全文