曹盼盼，赵西卿

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

20世纪90年代，美国著名的数学家Smarandache提出了许多新的数论问题[1]，并定义了若干新的数论函数，对现代的数论发展产生了较大的影响[2]。其中Smarandache本人命名的Smarandache函数S(n)近年来受到国内外诸多学者的广泛关注和深入研究。

对于欧拉函数方程

φ2(n)=S(nk),n≥2，

(1)

1 相关引理

引理1[3]若正整数n=p1r1，p2r2，…，pkrk，其中p1,p2,…pk为素数，则欧拉函数

Smarandache函数

S(n)=max{S(p1r1),S(p2r2)，…S(pkrk)}。

引理2[3]对于整数k与素数p，有S(Pk)≤kp；若进一步有k

引理3[3]当n≥2时，有φ(n)

2 主要结果

定理广义欧拉函数方程

φ2(n)=S(n28),n≥2

(2)

的正整数解为n=12769，25538。

证明当n=2时，φ2(2)=1,S(228)=32，显然φ2(2)≠S(228)，于是n=2不是方程(2)的解。

当n≥3时，设n=p1r1，p2r2，…，pkrk，其中p1,p2…pk为素数，由引理1，

S(n28)=S(p128r1p228r2…pk28rk)=

max{S(p128r1),S(p228r2)，…S(pk28rk)}=

S(p28r)，

(3)

其中p为n的素因数，r为素因数p在n中的次数。又

(4)

若(3)，(4)式均成立，即得(2)式有解。

下面就p，r的不同取值分17种情况分别加以讨论：

情形1 当p=2时：

(1)若r=1时，则(4)式为φ(m)=2S(228)=64,m=85，128，136，160，170，192。又(m,p)=1，则m=85，n=pr·m=170。将其代入(3)式S(17028)=459≠32，此时n=170不是(2)式的解。

(2)若r=2时，则(4)式为φ(m)=S(256)=60，m=61，77，93，99，122，124，154，183，186，198。又(m,p)=1，则m=61，77，93，99，183，n=pr·m=244，308，372，396，732。将其代入(3)式，可得

S(24428)=S(73228)=1708≠60，

S(30828)=S(39628)=297≠60，

S(37228)=868≠60，

故n=244，308，372，396，732不是(2)式的解。

(3)若r=3时，则(4)式为2φ(m)=S(284)=88，φ(m)=44，m=69，92，138。又(m,p)=1，则m=69，n=pr·m=552。将其代入(3)式S(55228)=621≠88，此时n=552不是(2)式的解。

(4)若r=4时，则(4)式为4φ(m)=S(2112)=116，φ(m)=29，由引理2可知，此时(2)式无解。

(5)若r=5时，则(4)式为8φ(m)=S(2140)=144，φ(m)=18,m=19，27，38，54。又(m,p)=1，则m=19，27，n=pr·m=608，864。将其代入(3)式得S(60828)=513≠144与S(86428)=60≠144，此时n=608，864不是(2)式的解。

(6)若r=6时，则(4)式为16φ(m)=S(2168)=172，φ(m)不是整数，故(2)式无解。

(7)若r=7时，则(4)式为32φ(m)=S(2196)=200，φ(m)不是整数，故(2)式无解。

(8)若r=8时，则(4)式为64φ(m)=S(2224)=228，φ(m)不是整数，故(2)式无解。

(9)若r=9时，则(4)式为128φ(m)=S(2252)=256，得φ(m)=2，则m=3，4，6。又(m,p)=1，则m=3，n=pr·m=1536。将其代入(3)式得

S(153628)=60≠256，

此时n=1536不是(2)式的解。

(10)若r=10时，则(4)式为256φ(m)=

S(2280)=284,φ(m)不是整数，故(2)式无解。

(11)若r=11时，则(4)式为512φ(m)=

S(2308)=312，φ(m)不是整数，故(2)式无解。

(12)若r≥12时，则56r≥S(228r)=2r-2φ(m)≥2r-2不成立，此时(2)式无解。

情形2 当p=3时：

(1)若r=1时，则(4)式为φ(m)=S(328)=60,m=61，77，93，99，122，124，154，183，186，198。又(m,p)=1，则m=61，77，122，154，n=pr·m=183，231，366，462。将其分别代入(3)式，可得

S(18328)=S(36628)=1708≠60，

S(23128)=S(46228)=297≠60，

此时n=183，231，366，462不是(2)式的解。

(2)若r=2时，则(4)式为3φ(m)=S(356)=117,φ(m)=39，由引理2可知，此时(2)式无解。

(3)若r=3时，则(4)式为9φ(m)=S(384)=171,φ(m)=19，由引理2可知，此时(2)式无解。

(4)若r=4时，则(4)式为27φ(m)=S(3112)=231,φ(m)不是整数，故(2)式无解。……