王宇翔

(山西大同大学 >数学与统计学院，山西 >大同037003)

1 引言与预备知识

不动点理论是泛函分析理论的重要组成部分，近年来，随着不动点理论在代数方程、非线性微分、积分方程及随机算子理论中的应用，人们提出了许多不同类型非线性压缩映射的不动点理论，本文针对一类新型的非线性压缩映射，讨论了该映射的不动点的存在性和唯一性，并给出相应的误差估计式，相比于主要文献[2]和文献[3]而言，对映射本身不要求连续性，压缩条件更简单，便于应用，拓展和改进了有关文献的范围.

定义1[1]设(X,ρ)是一度量空间，若点列{xn}满足ρ(xn,xm)→0(n,m→∞),则称点列{xn}是此空间上的基本列(Cauchy列).

定义2[1]若度量空间(X,ρ)中所有的基本列都收敛，则称该空间是完备的.

定义3[1]设映射T∶(X,ρ)→(X,ρ),若对∀x,y∈X,均存在0

ρ(Tx,Ty)≤kρ(x,y)

成立，则称映射T是一个压缩映射.

Banach不动点定理[1]若(X,ρ)是一完备的度量空间，映射T∶(X,ρ)→(X,ρ)是一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点x*，满足Tx*=x*.

2 主要结论

定理1已知(X,ρ) 是一完备的度量空间，映射T∶X→X,若∀x,y∈X，x≠y, ∃(0,∞)→(0,1) 的增函数a(t)<1,满足不等式

ρ(Tx,Ty)≤a(ρ(x,y))ρ(x,y) ,

其中h=a(ρ(x0,x1)).

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

(1)

假设ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn)，则由(1)式可得

ρ(xn-1,xn)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

即a(ρ(xn-1,xn))≥1,与a(ρ(xn-1,xn))<1矛盾.因此序列{ρ(xn,xn+1)} 单调递减，反复利用(1)式可得

ρ(xn,xn+1)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn)

≤a(ρ(xn-1,xn))a(ρ(xn-2,xn-1))ρ(xn-2,xn-1)

≤…≤a(ρ(xn-1,xn))a(ρ(xn-2,xn-1))…a(ρ(x1,x0))ρ(x1,x0)

≤[a(ρ(x1,x0))]nρ(x1,x0)=hnρ(x1,x0).

(2)

其中h=a(ρ(x1,x0))∈(0,1).

∀n,m∈+,由三角不等式及(2)式可得

ρ(xn,xn+m)≤ρ(xn,xn+1)+ρ(xn+1,xn+2)+…+ρ(xn+m-1,xn+m)

(3)

因此{xn}是X中的Cauchy列.

由X的完备性，设xn→x*∈X,下证x*是T在X中的不动点，事实上

0≤ρ(x*,Tx*)≤ρ(x*,xn)+ρ(xn,Tx*)=ρ(x*,xn)+ρ(Txn-1,Tx*)

≤ρ(x*,xn)+a(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,x*).

令n→+∞，有0≤ρ(x*,Tx*)≤0，即Tx*=x*得证.

最后利用反证法证明x*的唯一性.若∃y*∈X(y*≠x*)同时满足Ty*=y*，则有

0≤ρ(x*,y*)=ρ(Tx*,Ty*)≤a(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*).

由a(ρ(x1,x0))∈(0,1)可得ρ(x*,y*)=0，即y*=x*.

在式(3)中，令m→+∞可得

证毕.

定理2已知(X,ρ)是一完备的度量空间，映射T∶X→X,若∀x,y∈X，x≠y,∃(0,∞)→(0,1)的增函数a(t)+b(t)+c(t)<1,满足不等式

ρ(Tx,Ty)≤a(ρ(x,y))ρ(x,Tx)+b(ρ(x,y))ρ(y,Ty)+c(ρ(x,y))ρ(x,y)，

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)

≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn)+b(ρ(xn-1,xn))ρ(xn,xn+1)+c(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

从而

ρ(xn,xn+1)≤knρ(xn-1,xn).

(4)

假设ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn)，则由(4)式可得ρ(xn-1,xn)≤knρ(xn-1,xn).即kn≥1，与0

ρ(xn,xn+1)≤knρ(xn-1,xn)≤knkn-1ρ(xn-2,xn-1)≤…≤knkn-1…k1ρ(x1,x0).

(5)

易证{kn}为单减序列，故由(5)式可得

(6)

∀n,m∈+,由三角不等式及(6)式可得

(7)

从而知{xn}是X中的Cauchy列.

由X的完备性，设xn→x*∈X,下证x*是T在X中的不动点，事实上

0≤ρ(x*,Tx*)≤ρ(x*,xn)+ρ(xn,Tx*)=ρ(x*,xn)+ρ(Txn-1,Tx*)

≤ρ(x*,xn)+a(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,xn)+b(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,Tx*)+c(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,x*).

整理得

令n→+∞，有0≤ρ(x*,Tx*)≤0，即Tx*=x*.得证.

最后利用反证法证明x*的唯一性.若∃y*∈X(y*≠x*) 同时满足Ty*=y*，则有

0≤ρ(x*,y*)=ρ(Tx*,Ty*)

≤a(ρ(x*,y*))ρ(x*,Tx*)+b(ρ(x*,y*))ρ(y*,Ty*)+c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)

=a(ρ(x*,y*))ρ(x*,x*)+b(ρ(x*,y*))ρ(y*,y*)+c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)

=c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*).

由c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)∈(0,1)可得ρ(x*,y*)=0，即y*=x*.

在式(7)中，令m→+∞,可得

证毕.

推论已知(X,ρ)是一完备的度量空间，映射T∶X→X,若存在非负数a,b,c满足a+b+c<1，使得∀x,y∈X，x≠y有

ρ(Tx,Ty)≤aρ(x,Tx)+bρ(y,Ty)+ρ(x,y)，

证在定理2中，令a(t)=a,b(t)=b,c(t)=c即得.

注 定理1和2与文献[3]中的主要定理2对比，本文定理中的从X到X的自映射T不要求满足连续性，此外，相较于文献[3]的压缩条件：

d(Tx,Ty)≤f(d(x,y))d(x,Tx)+g(d(x,y))d(y,Ty)+h(d(x,y))d(x,y)

其中f(t),g(t),h(t)为单调递减可微函数，并且满足f(t)+g(t)+h(t)<1.

本文定理2对函数不要求可微，因此条件更简单，便于应用.

3 应 用

下面给出定理1在数学分析中的一个简单应用

例1设X是赋范线性空间,D⊂X是有界闭凸集，T∶D→D满足

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖ (∀x,y∈D)，

则∃x*∈D，使得x*-Tx*→0.

故Tn是满足定理1的压缩映射，而D是X上的有界闭集，所以D完备.

4 结 论

本文主要讨论了一类新型的、满足条件更弱的非线性压缩型映射，给出定理1、2，通过构造适当的迭代序列，可以证明这类映射在度量空间(X,ρ)中不动点的存在唯一性，改进了非线性压缩映射的不动点定理.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.