田耀祖

(甘肃省通渭县第二中学 743300)

面积、体积是高中数学中的常见题型.此类问题的解答，通常利用给定的面积、体积公式，若给定图形的点的坐标，则如何求其面积或体积呢？除了化归于公式求解，是否能将面积与体积由点的坐标来公理化呢？经过笔者的深入思考、探究、尝试，终有一份收获.

定理1在平面内，已知△ABC，若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的面积

设x′=x2-x1,y′=y2-y1,x″=x3-x1,y″=y3-y1,

∵x′=x2-x1,y′=y2-y1,x″=x3-x1,y″=y3-y1，

记|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|

定理2 在空间内，已知△ABC，若A(x1,y1z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的面积

定理2的证明方法与定理1的很相似，只是将二维变元转化为三维变元就可以了.在此定理2的证明过程简略.

推论在空间中，已知四面体ABCD的顶点坐标分别是A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),那么四面体ABCD体积

上述坐标形式的求积公式，体现了顶点坐标与面积、体积的直接关系，并且此公式在形式上充分体现了数学的完美性、对称性.在内容上充分体现了数学的简捷性，规律性.更重要的是此公式在解决一些数学问题时表现出它优异的本色，能优化解题思维.下面举例说明它的应用.

一、解面(体)积的问题

图1

解如图1所示,不等式组表示的平面区域是三角形ABC.而A,B,C点的坐标分别是A(0,2),B(2,0),C(2,4).

因此，答案是B.

二、解最值问题

因此,答案为D.

例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足OA⊥OB.

△ABO的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值;若不存在，请说明理由.

所以，△ABO的面积

∵k>0,

∴S≥1.

因此，△ABO面积S是存在的且最小值是1.

三、解共线、共面问题

例4已知A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线，则y=____.

解∵A,B,C三点共线,

即|3×2+(-5)×y+6×(-6)-(-5)×(-6)-6×2-3×y|=0.

图2

例5如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，

求证：E,B,F,D1四点共面.

证明建立如图2所示的坐标系，则E,B,F,D1的坐标如下：

E(0,3,1),B(3,3,0),F(3,0,2),D1(0,0,3).

∴E,B,F,D1四点共面.

四、解点到平面距离的问题

图3

例6在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0≤λ≤1)．则点G到平面D1EF的距离为( ).

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四面体的体积

底面D1EF的面积

因此，答案是D.

五、解异面直线夹角的问题

图4

求异面直线AO与CD所成角的大小．

通过上述几例我们不难发现求积公式坐标化后，有它的优越性，不但解决一些面积、体积问题，而且还能解决一些立体几何的其它问题.所以运用好这一公式，将会优化解题的思维.