◇ 北京 韩静波

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在高中阶段,向量问题灵活多变,解决向量问题既要求透彻理解概念,又需要掌握解决相关问题的通性通法,还要有数学思想的引领.本文通过对高考试题的分析,总结在平面向量教与学中应该重视的问题.

1 注重概念的理解和知识的系统性

数学概念是数学基础知识的核心,是学好数学知识和培养数学能力的基础.对于高中学生而言,向量是一种新的数学研究对象,很多概念都可从数和形两种角度理解,并且有多种不同表现形式,另外概念间相互联系形成网络,因此在平面向量的教与学中应该注重概念的理解和知识的系统性.

例1(2017年北京卷理6)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m＝λn”是“m·n＜0”的( ).

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

分析解答此题的关键是理解“存在负数λ,使得m＝λn”和“m·n＜0”的本质分别是什么.考查了向量共线(向量平行)、向量的数乘、向量的夹角、向量的数量积等概念,也就是考查是否理解相关概念的本质以及是否形成了知识体系,考查了转化与化归思想以及逻辑推理能力.

解存在负数λ,使得m＝λn⇔m与n方向相反.因为m,n为非零向量,所以|m|≠0且|n|≠0.

得出m与n方向相反或夹角为钝角.所以“存在负数λ,使得m＝λn”是“m·n≤0”.故选 A.

点评

解决此题需要准确理解向量共线(向量平行)、向量的数乘、向量……