倪明康潘亚飞吴 潇

(1.华东师范大学数学科学学院,上海200062;2.上海市核心数学与实践重点实验室,上海200062;3.南京工程学院数理部,南京211167)

许多生物、化学、工程和物理现象可由带边值问题的微分方程或者方程组来描述.每当将面临的问题转化为数学模型时,学者们总是想抓住重要的量而舍弃可以忽略的量,其中就包括小参数.包含小参数的模型称为摄动模型,而不包含小参数的简化模型称为非摄动或者退化模型.在研究中,摄动模型解可以由不带小参数的退化部分替代,前提是退化问题的解必须与对应的摄动问题的解充分接近.这种做法在正则摄动问题中是可行的,但是在奇异摄动问题中是不成立的.

奇异摄动问题出现在应用数学的许多分支中,如流体力学中的边界层、固体力学中的边缘层、量子力学中的转点以及数学中的Stoks线和面.小参数扰动会使相关的变量在非常狭窄的区间内快速变化.在这些问题中,小参数的扰动会使相关的变量在区域边界或内部某点附近极小的领域内快速变化.

近1个世纪以来,奇异摄动问题的研究得到了蓬勃的发展[1-26],各种奇异摄动方法得到了不断发展[27-39].同时,我国许多著名学者为奇异摄动理论的发展也作出了卓越的贡献[40-60],如对于连续的快慢系统,Tikhonov定理[26]的经典结果是,在满足一系列确定条件时(特别是稳定性条件≤-κ,κ＞0),(z(t),y(t))是如下方程的解:

当ε→0时,在任何有限区间[0,T0](T0＜T)上,(z(t),y(t))是一致收敛于函数对,且满足.这……