蔡恒超

(福建师范大学 数学与信息学院，福建福州350117)

1 预备知识

为了研究一般概率测度μ及其支撑集的结构和复杂性，人们引进了所谓的局部维数:如果

其中，Br(x)表示以x为球心，r为半径的球，则称α为μ在x处的局部维数，称

为水平集.与此有关的一个由物理学家提出的著名公式是所谓的重分形公式:

其中，dim代表豪斯多夫(Hausdorff)维数，τ(μ,q)是Lq谱，定义为

另一个考察概率测度μ及其支撑集的结构和复杂性的方法是研究μ的支撑集的维数分布.Cutler[8]考虑了μ支撑于维数不超过α的集合上的质量是怎样随着α的变化而变化的，定义了如下的维数分布：

定义1设dim(E)表示集合E的豪斯多夫维数，对于任意的α∈[0,N]，定义集函数μα为

其中，B和D都是Borel集合.Cutler[8]证明了如下的结果：

这些测度μα实质上构成了概率测度μ的一个分解.利用这种分解，定义式

决定了集合[0,N]上的一个概率测度.Cutler[8]把这个测度称为测度μ的维数分布，并从 一种新的角度研究了概率测度的结构与复杂性.

一个自然的问题就是：对于由迭代函数系定义的不变测度，这种分解是否有用.本研究的目的就是回答这一问题，为此先给出迭代函数系及其不变集的定义如下：

(1)

称为不变测度.

2 定理及其证明

定理设μ是(1)式定义的不变测度，μα见定义1.若Sj都是双李普希茨压缩映射(即存在大于零的实数c1

定理说明，对于由迭代函数系生成的不变测度，Cutler[8]所定义的维数分布是一个单点分布(退化分布).

证明：设α∈[0,N],使得μα不是零测度.令

其中，Sj1∘Sj2∘…∘Sjn表示n个双李普希茨压缩映……