许文彬

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

文中将考虑进化方程

(1)

u|t=0=u0(x),x∈Ω,

(2)

总是需要的。若α=0，关于这个方程有一些研究结果：文献[3]研究了各向异性的变指数方程解的存在性；文献[4]假设在没有对数Hölder连续性的条件下，研究了方程变指数方程初边值问题解的存在唯一性；文献[5]研究了变指数含有时间变量的解的梯度估计；文献[6]研究了相关解的Hölder连续性。

如果p(x)=p，文献[7]研究了方程

(3)

发现，与通常的边界条件

u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,T)

(4)

相比，仅部分边界条件

u(x,t)=0,(x,t)∈∑p×(0,T)

(5)

与方程(3)相匹配。

1 定义

定义2 设u(x,t)为具有初值(2)的方程(1)的弱解。如果u在迹意义下满足部分边界条件(5)，则称u(x,t)为具有初始边界条件(2)、(5)的方程(1)的弱解。

2 主要结果

首先，主要讨论基于部分边界值条件的弱解的稳定性。

定理1 设b(s)是Lipschitz函数，u和v分别是方程(1)具有相同的局部齐次边值条件

u|Σp×(0,T)=0=v|Σp×(0,T)，

(6)

和不同的初值u0(x)、v0(x)的两个弱解。如果

(7)

α

|g(x)|≤cρ(x),

(8)

则

当然，定理1 的条件(7)只是证明了一类解的稳定性。其实从下面的证明可以看出，如果不是部分边界条件，而是整个边界条件(4)，那么只要选取gn(u-v)作为检验函数，无需条件(7)，可以得到下面的推论1。

如果α≥p+-1，方程(1)的弱解由于缺乏正则性而难以定义其在边界上的迹，必须研究不带边界值条件的弱解的稳定性。

定理2 设u和v分别是方程(1)具有不同初值u0(x)、v0(x)的两个弱解。如果α>p+-1，常数β≥max{α/p-,1}，且

|g(x)|≤cρβ(x),

(9)

3 定理1和定理2的证明

3.1 定理1的证明

(10)

其中，Ωλ={x∈Ω:ρ(x)=dist(x,∂Ω)>λ}。

对于任意给定的正整数n，设gn(s)为奇数函数，且

如果u和v分别是方程(1)具有局部齐次边界值(6)和不同的初值u0(x)、v0(x)的两个弱解，可以选择Sn(φ(u-v))作为检验函数，则

φu-v)·

(11)

于是，

(12)

(13)

(14)

而由于bi(s)是Lipschitz函数，|g(x)|≤cρ(x)，|bi(u)-bi(v)|≤c|u-v|。根据迹的定义，容易推导出

(15)

此外，同文献[11]，可以证明

(16)

具体如下

(17)

如果{x∈Ω:|u-v|=0}是0测度的集合，则

如果集合{x∈Ω:|u-v|=0}有正测度，则

因此，在这两种情况下，当η→0时，式(17)趋于0。

其次，

(18)

3.2 定理2的证明

对于任意固定的s,τ∈[0,T)，通过取极限，可以选择χ[τ,s](u-v)φ作为检验函数，其中χ[τ,s]是[τ,s]上的特征函数，φ(x)由文献[10]定义，有：

∬Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt-∬Qτs[bi(u)-bi(v)]gxiφ(u-v)dxdt，

(19)

其中Qτs=Ω×[τ,s]。

可以把式(19)重新整理得到：

2∬Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt-∬Qτs[bi(u)-bi(v)]gxiφ(u-v)dxdt≤

2∬Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt-∬Qτs[bi(u)-bi(v)]gxiφ(u-v)dxdt。

(20)

首先，因为

(21)

由α>p+-1和α-p(x)>-1及式(21)得

(22)

其次，

∬Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φ]xidxdt=∬Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)][(u-v)φxi+(u-v)xiφ]dxdt。

由于|ρxi|≤|ρ|=1，根据式(9)，|g(x)|≤cρ(x)，则：

(23)

这里u,v∈L∞(QT)，根据式(9)，|g(x)|≤cρβ(x)及β≥α/p-，有

|∬Qτsg(x)[bi(u)-bi(v)](u-v)xiφdxdt|≤

(24)

根据引理1的ⅲ)，p1=p+或p-，q1=maxp(x)/(p(x)-1)或minp(x)/(p(x)-1)。

令Ω1={x∈Ω:p(x)/(p(x)-1)≥2}，Ω2={x∈Ω:p(x)/(p(x)-1)<2}，则

(25)

且

(26)

其中q2=max 2(p(x)-1)/p(x)或min 2(p(x)-1)/p(x)是根据引理1的ⅲ)来确定。

结合式(24)～式(26)，得到

(27)

其中l<1。

还有，

(28)

在式(20)中让λ→0，由式(22)～式(23)及式(27)～式(28)，可得

(29)