许文彬

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

文中将考虑进化方程

(1)

u|t=0=u0(x),x∈Ω,

(2)

总是需要的。若α=0，关于这个方程有一些研究结果：文献[3]研究了各向异性的变指数方程解的存在性；文献[4]假设在没有对数Hölder连续性的条件下，研究了方程变指数方程初边值问题解的存在唯一性；文献[5]研究了变指数含有时间变量的解的梯度估计；文献[6]研究了相关解的Hölder连续性。

如果p(x)=p，文献[7]研究了方程

(3)

发现，与通常的边界条件

u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,T)

(4)

相比，仅部分边界条件

u(x,t)=0,(x,t)∈∑p×(0,T)

(5)

与方程(3)相匹配。

1 定义

定义2 设u(x,t)为具有初值(2)的方程(1)的弱解。如果u在迹意义下满足部分边界条件(5)，则称u(x,t)为具有初始边界条件(2)、(5)的方程(1)的弱解。

2 主要结果

首先，主要讨论基于部分边界值条件的弱解的稳定性。

定理1 设b(s)是Lipschitz函数，u和v分别是方程(1)具有相同的局部齐次边值条件

u|Σp×(0,T)=0=v|Σp×(0,T)，

(6)

和不同的初值u0(x)、v0(x)的两个弱解。如果

(7)

α

|g(x)|≤cρ(x),

(8)

则

当然，定理1 的条件(7)只是证明了一类解的稳定性。其实从下面的证明可以看出，如果不是部分边界条件，而是整个边界条件(4)，那么只要选取gn(u-v)作为检验函数，无需条件(7)，可以得到下面的推论1。

如果α≥p+-1，方程(1)的弱解由于缺乏正则性而难以定义其在边界上的迹，必须研究不带边界值条件的弱解的稳定性。

定理2 设u和v分别是方程(1)具有不同初值u0(x)、v0(x)的两个弱解。如果α>p+-1，常数β≥max{α/p-,1}，且

|g(x)|≤cρβ(x),

(9)

3 定理1和定理2的证明

3.1 定理1的证明

(10)

其中，Ωλ={x∈Ω:ρ(x)=dist(x,∂Ω)>λ}。

对于任意给定的正整数n，设gn(s)为奇数函数，且

如果u和v分别是方程(1)具有局部齐次边界值(6)和不同的初值u0(x)、v0(x)的两个弱解，可以选择Sn(φ(u-v))作为检验函数，则

φu-v)·

(11)

于是，

(12)

(13)

(14)

而由于bi(s)是Lipschitz函数，|g(x)|≤cρ(x)，|bi(u)-bi(v)|≤c|u-v|。根据……