岳中文,吴羽霄,魏 正,王 贵,王 渊,李 鑫,周奕硕

(1.中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院，北京 100083；2.内蒙古康宁爆破有限责任公司，内蒙古 鄂尔多斯 017010)

爆破地震波会对爆破周边地区的建(构)筑物及岩体造成不同程度的破坏[1]，准确预测爆破过程中产生的振动效应，优化爆破设计参数是降低爆破振动效应危害的主要方法。国家最新的《爆破安全规程》(GB 6722-2014)[2]中将质点的爆破峰值振动速度和振动主频作为评判爆破振动安全的依据，然而爆破振动速度和主频与各影响因素之间没有定性的预测系统，它们之间存在一种尚未明确、难以系统描述的非线性映射关系。目前国内外学者用来预测爆破振动速度的主要方法有经验公式法[3-4]、BP神经网络及其改进算法[5-8]、数值模拟[9-11]等。其中萨道夫斯基公式仅考虑了药量和爆心距两个参数[12]，对多因素影响下的预测误差较大；BP网络收敛速度慢，需要大量有效的训练样本提高预测精度，导致其学习速度较慢、泛化能力差。

支持向量机[13-14](SVM)是一种新兴的机器学习算法，具有较强的局部和全局寻优能力，能够解决爆破工程中样本少、非线性、影响因子多等实际问题。最小二乘支持向量机(LSSVM)在传统SVM的基础上，结合正则化理论将SVM中的不等式约束转化为等式约束，避免了SVM复杂的二次规划问题。但是LSSVM模型预测的关键在于其参数γ和σ的选取，传统支持向量机模型通常采用经验值设定两参数的值，导致预测效果不佳。粒子群算法(PSO)作为一种新型的全局搜索算法，具有设置参数少、收敛速度快、预测精度高等特点，在参数寻优方面得到了广泛应用。

基于以上现状，建立基于PSO-LSSVM的爆破振动效应预测模型。利用PSO算法寻找LSSVM模型的正则化参数和核函数参数的最优参数组合，结合现场实测数据，分别对爆破振动速度和爆破振动主频进行预测，同时与BP神经网络及未优化的LSSVM模型对比，结果表明PSO-LSSVM具有更高的预测精度，为复杂因素下预测爆破振动效应提供了一种新的方法。

1 PSO-LSSVM基本原理

1.1 最小二乘支持向量机

最小二乘支持向量机[15-16]是由Suykens等人提出的基于SVM的新型回归算法。LSSVM不仅具有传统SVM解决小样本非线性不可分问题的优点，还通过线性方程组替换了SVM中的不等式约束，避免了复杂的二次规划问题，大大提高了计算精度和预测速度。其主要原理如下：给定训练样本集{(xi,yi),i=1,2,…,n}，其中xi∈Rd为第i个d维的输入向量，yi∈R为其对应的预测值。支持向量机的核心思想为通过寻找非线性映射函数φ(x)，将低维空间的样本映射到线性可分的H维特征空间。此时H维特征空间中的样本集为[17]

yi=wφ(xi)+b

(1)

其中：ω为权向量；b为偏置量。

传统SVM对上述样本集最优分类的优化函数为

(2)

为解决SVM中的二次规划问题，LSSVM根据正则化理论和最小二乘成本函数，将上述的不等式约束转化为等式约束。此时求解的优化函数变为[17]

(3)

式中：γ为正则化参数；ei为误差向量。

为求式(3)的最优解，引入拉格朗日函数，即

(4)

根据KKT优化条件，对式(4)中的w、b、e、ξ求偏导，可以得到[17]

(5)

消掉式(5)中的w和e两个变量，可得b和ξ的最优解为

(6)

式中：ξ=[ξ1,ξ2,…,ξn]T为Lagrange乘子；Z=[1,1,…,1]T；Y=(y1,y2,…,yn)T；E为n阶单位矩阵；K=K(xi,xj)=φ(xi)φ(xj)为核函数矩阵。

LSSVM最终的优化函数为[17]

(7)

其中，核函数采用高斯径向基核函数，其公式为

(8)

1.2 PSO算法优化LSSVM参数

LSSVM模型的学习能力和泛化能力由正则化参数γ和核函数关键参数σ决定，采用粒子群算法优化LSSVM的2个参数，以提高模型的预测精度和收敛速度。粒子群算法[18]由Eberhart和Kennedy提出，此算法模仿自然界鸟群、鱼类的觅食行为，初始化形成全局范围内的粒子群，群体内部通过信息共享和竞争不断迭代寻找最优粒子，最终得到整个群体的最优解。PSO寻优的原理如下：

每个粒子的位置对应所求的最优解向量，设置1个m维空间的q个粒子种群，群体第i个粒子的位置为xi=(xi1,xi2,…,xim)，移动速度vi=(vi1,vi2,…,vim)，用Pbest,i=(Pi1,Pi2,…,Pim)表示个体粒子i寻找的最优位置，此时整个群体的全局最优位置为Gbest=(Pg1,Pg2,…Pgm)。每个粒子通过给定的适应度函数不断更新Pbest和Gbest，直至找到最优解或达到迭代次数。其中，每个粒子通过式(9)和式(10)更新自身的速度和位置[18]。

(9)

(10)

式中：ω为惯性权重因子；c1、c2为学习因子；rand为[0,1]取值的随机函数；t为迭代次数。

其中，惯性权重因子ω用来调节粒子在局部寻优和全局寻优的平衡，采用非线性二次递减的惯性权重设置[19]，并结合适应度值来确定粒子的惯性权重因子ω的取值，即

(11)

2 基于PSO的LSSVM模型建立

通过LSSVM模型建立爆破峰值振动速度及其影响因素之间的非线性关系进行爆破峰值振动速度的预测，利用PSO算法寻找LSSVM关键参数γ和σ的最佳组合，构建基于PSO-LSSVM的爆破峰值振动速度预测模型，其具体流程如图1所示。

图1 PSO-LSSVM模型的处理流程Fig.1 Flow of PSO-LSSVM model

基于PSO的LSSVM模型建立的步骤如下：

①收集训练样本和测试样本，并对数据预处理；

②初始化粒子群。需要对LSSVM模型中的正则化参数γ和核函数宽度系数σ优化，故粒子群的空间维数m取为2；设置(γ,σ)的取值范围，给定粒子群个数q、最大迭代次数tmax、学习因子c1和c2、惯性权重因子ωmax和ωmin，随机产生初代粒子群；

③将产生的各代γ和σ的参数组合作为LSSVM模型的参数进行训练，并通过适应度函数计算各代粒子群的适应度值，选用均方根误差(RMSE)作为评价粒子适应度的函数，其计算公式如式(12)：

(12)

式中：n为样本数量；yi为样本实际值；yi′为样本预测值；

④比较当前各粒子的适应度值f(xi)和自己历史最优位置适应度值f(Pbest,i)的大小，若f(xi)

⑤更新各粒子的速度和位置，产生新一代粒子群，不断更新Pbest,i和Gbest；

⑥判断是否满足结束条件，若达到最大迭代次数或满足的适应度值，则输出最优解向量，否则返回第四步，直到满足条件。

3 PSO-LSSVM预测模型应用与分析

3.1 样本收集与模型评价指标的选取

选取内蒙古康宁爆破公司德隆煤矿、华武煤矿爆破工程的测振数据，将总装药量(kg)、最大单段药量(kg)、高程差(m)、最小抵抗线(m)、设计单耗(kg/m3)、填塞长度(m)、爆心距(m)7个指标作为LSSVM模型的输入变量；我国《爆破安全规程》(GB 6722-2014)[2]中将质点峰值振动速度和振动主频作为评判爆破振动安全的依据，故将爆破峰值振动速度v(cm/s)和振动主频f(Hz)作为输出变量评价爆破振动效应。

在现场共收集50组有效爆破测振数据(见表1)。由于原始数据存在较大的量纲差异，利用式(13)进行数据归一化的预处理，归一区间为[-1,1]。

(13)

式中：xi为样本数据；xmin为样本数据的最小值；xmax为样本数据的最大值。

选用平均相对误差(MRE)和均方根误差(RMSE)作为评价模型预测效果的指标。两者的计算值越小，说明模型的预测精度越好。

表1 原始爆破实测数据

3.2 PSO-LSSVM预测模型建立

采用Matlab2016(a)仿真平台建立PSO-LSSVM预测模型， PSO-LSSVM预测模型的初始化各参数设置如下：种群规模q=20，最大迭代数tmax=100，学习因子c1=1.5、c2=1.7，惯性权重系数ωmax=0.9、ωmin=0.4，正则化参数γ∈[0.1，100]，核函数宽度系数σ∈[0.01,1 000]。通过表1中的前40组数据对PSO-LSSVM模型进行训练和学习，将后10组作为测试样本进行预测。输出变量分别为爆破峰值振动速度v和爆破振动主频f时的PSO- LSSVM模型适应度曲线如图2和图3所示。

图2 爆破峰值振动速度适应度Fig.2 Adaptability of blasting peak vibration velocity

图3 爆破振动主频适应度Fig.3 Adaptability of blasting vibration main frequency

由图2和图3可知，当爆破峰值振动速度适应度和爆破振动主频适应度分别达48次和14次时，适应度曲线均已达到稳定状态。当输出变量为爆破峰值振动速度时，此时得到的PSO-LSSVM模型的最优参数组合为vbest(γ,σ)=(8.562,25.987) ；当输出变量为爆破振动主频时，此时最优参数组合为fbest(γ,σ)=(7.543,20.438) 。根据上述参数组合确定的PSO-LSSVM预测模型分别对训练样本进行爆破峰值振动速度和主频的回归仿真实验(见图4和图5)。由图4可以看出，PSO-LSSVM模型预测爆破振动速度效果较好，此时均方误差MSE=0.057；同理，图5给出了PSO-LSSVM模型对爆破振动主频的回归拟合曲线，其均方误差MSE=0.052，回归拟合效果良好。

图4 爆破峰值振动速度训练样本回归Fig.4 Regression of training samples for blasting peak vibration velocity

图5 爆破振动主频训练样本回归Fig.5 Regression of training samples for blasting vibration main frequency

3.3 预测结果对比分析

训练样本的回归拟合证明了PSO-LSSVM模型具有良好的学习能力，为验证PSO-LSSVM模型同样具有优良的泛化能力，通过输入10组测试样本数据进行预测，并分别与未经优化的LSSVM模型、BP神经网络模型进行对比分析。上述3种模型对爆破峰值振动速度和主频的预测值与实际值对比结果如图6和图7所示。

图6 不同模型对爆破峰值振动速度的预测结果Fig.6 Prediction results of different models for blasting peak vibration velocity图7 不同模型对爆破振动主频的预测结果Fig.7 Prediction results of different models for blasting vibration main frequency

从图6和图7看出，PSO-LSSVM模型的预测效果优于BP神经网络和LSSVM模型，与实际值最为接近。3种模型的相对误差分别如表2所示。为了更加直观地验证PSO-LSSVM模型的优越性，分别计算平均相对误差(MRE)和均方根误差(RMSE)2个评价模型性能的指标(见表3)。

表2 相对误差对比

表3 模型评价指标对比

由表2和表3可看出，BP神经网络对爆破峰值振动速度和振动主频的预测精度最差，波动性最大，平均相对误差为42.37%和42.05%，均方根误差为13.39%和13.29%，原因在于BP神经网络依赖大样本，对小样本学习的泛化能力较差；而未经优化的LSSVM模型的平均相对误差为15.57%和18.74%，均方根误差为4.92%和5.92%，比BP神经网络预测的准确性有了大幅度的提高；PSO-LSSVM的相对误差波动范围最小，平均相对误差为3.31%和6.38%，均方根误差为0.98%和2.02%。通过对比分析，经PSO算法优化的LSSVM模型的MRE和RMSE最小，能够更加准确地预测爆破振动效应。

4 结论

1)建立最小二乘支持向量机预测模型，并结合PSO算法对LSSVM中的正则化参数γ和核函数宽度系数σ寻优，得到最优参数组合分别为vbest(γ,σ)=(8.562,25.987)、fbest(γ,σ)=(7.543,20.438)，克服了传统LSSVM模型通过经验给定关键参数导致预测精度低的问题。

2)PSO-LSSVM模型对爆破振动速度和爆破振动主频的平均相对误差为3.31%和6.38%，均方根误差为0.98%和2.02%。与BP神经网络及未经优化的LSSVM模型对比，PSO-LSSVM模型具有更高的学习泛化能力和预测精度。

3)由于实际工程的爆破次数限制导致收集的有效数据较少，且影响爆破振动效应的众多因素中有些并非主要因素，以后的研究过程中应该充实样本数据库，进一步提高模型的精度，并利用数学方法找出影响爆破振动效应的主要因素作为输入变量，简化模型运算。