潘朝毅，马玉雯

（成都师范学院 数学学院，成都 611130）

同济版高等数学教材[1]将两平面的夹角θ 定义为两平面的法线向量n1与n2所夹的锐角（或直角），. 但在立体几何中的二面角φ 要么与θ 相等，要么为θ 的补角，因此需要先行观察去判断该二面角是钝角还是锐角，才能在前面求出θ 的基础上确定φ 值. 在很多二面角相关问题中，仅靠观察是无法确定到底是钝角还是锐角，这种观察的方法严格讲也是不严谨的. 而要不加入人工观察，则需进一步限定所讨论的二面角内的两个平面法向量n1与n2的方向为“一进一出”，这时就唯一确定了

利用确定向量积方向的右手法则，选取两个平面法向量n1与n2的方向为“一进一出”很容易. 本文将利用空间向量的线性运算及混合积、向量积的运算规律及性质，给出其在二面角相关问题的若干应用.

1 已知两平面π1 与π2 所构成的二面角内有点M0，求该二面角的角度φ

设平面πi方程为Aix + Biy + Ciz + Di= 0，则法向量ni={ Ai,Bi,Ci}，同时记Mi( xi,yi,zi)为平面πi中的任一点，i = 1,2. 将M0( x0,y0,z0)坐标代入πi方程左端得

由于M0( x0,y0,z0) 是二面角内的点，故πi( M0) ≠0，而平面πi的法向量ni方向对此二面角当πi( M0) ＞0 时为“进入”，当πi( M0) ＜0 时为“出离”. 故此得到结论：

将M0( x0,y0,z0) 坐标分别代入两平面方程左端计算，若两值异号，则二面角的角度

解析几何教材[2]中规定平面π 的法式方程为xcosα + ycosβ + zcosγ - p = 0 时，特别要求p 非负，本质上就是确保n0={ cosα,cosβ,cosγ } 为从原点指向平面π 的单位法向量，此即通过πi( M0) ＜0 来保证ni={ Ai,Bi,Ci}是从点M0( x0,y0,z0)指向平面πi的法向量的特例.

2 用向量工具证明三面角余弦定理

三面角余弦定理在求解某……