高峰 徐工 孙雪鹏

摘  要：针对2019年“高教杯”全国大学生数学建模竞赛A题——高压油管的压力控制，提出了一种基于差分思想的高压油管内压力控制的建模方法。利用状态转换方程与分段式处理得出了增压阶段单向阀开启时长的控制方案，并进一步验证与分析了模型的精度。分析结果表明：高压油管内部压力稳定在100MPa与150MPa时，单向阀开启时长的相对误差分别是1.19%与0.40%，模型精度高达98%以上，基于差分思想的数学建模方法可以有效控制高压油管的内部压力，提高稳定性。

关键词：状态转换方程;差分法;压力控制;分段式处理;数值模拟

中图分类号：O29 文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）27-0068-04

Abstract： Aiming at the A question in 2019 "Higher Education Cup" National Mathematical Contest in Modeling for College Students―pressure control of high pressure tubing， a modeling method of pressure control in high pressure tubing based on differential idea was proposed. The state transition equation and subsection processing are used to get the control scheme of the opening time of the one-way valve during the pressurization stage， and the accuracy of the model is further verified and analyzed. The analysis results show that when the internal pressure of high pressure tubing is stable at 100 MPa and 150 MPa， the relative error of one-way valve opening length is 1.19% and 0.40% respectively， and the model accuracy is over 98%. The mathematical modeling method based on difference idea can effectively control the internal pressure of and improve the stability of high pressure tubing.

Keywords： state transition equation; difference method; pressure control; piecewise treatment; numerical modeling

引言

燃油發动机作为目前技术和制造工艺最为成熟的热功转换装置，在车辆运输，船舶动力和航空航天等领域有着广泛应用。而高压油管作为燃油发动机的重要组成部件，决定着燃油发动机的工作效率[1]。然而，燃油进入和喷出的过程具有间歇性，将引起高压油管内压力发生变化，使喷出的燃油量与预期出现偏差，影响发动机的工作效率[2]。对高压油管进行相应的压力控制可以在一定程度上提高发动机工作效率[3]，故研究高压油管的压力控制机制具有着重要的意义。

高压油管的压力控制可以通过调节单向阀的开启时长来实现，单次开启时长直接地决定着高压油管内压力的大小。蔡建明等[4]利用守恒思想和密度压强之间的物理关系，得到了管内压强单向阀开启一个周期内压强随时间的变化。蒋思琦等[5]运用质量守恒建立微分方程模型，得到了恒压条件下油管的喷油规律以及相应情况下的阀门控制方案。杨永琪等[6]运用流体流动方程、燃油进出流量方程等方法，建立了多目标优化模型，分析了高压油管的压力控制问题。

综上所述，多数研究没有采用在不同时间限定条件下油管增压阶段对时间进行分段式处理的方法。此外，考虑到状态方程作为解决各种热力学关系、流体力学问题中扮演着重要角色[7-8]，故本文基于差分思想，构建油体的状态转换方程，确定了高压油管分别稳压在100MPa和150MPa时的单向阀单次开启时长，并采用对时间的分段式处理手段给定了限定时间为2s，5s，10s后油管内增压并趋于稳定时单向阀开启时长的调整方案。

1 问题描述

在给定的喷油器工作方法、高压油管尺寸和初始压力下，设置单向阀每次开启的时长，使高压油管内的压力稳定在100MPa左右，并调整单向阀开启的时长，使油管内的压力分别经过约2s、5s和10s后实现从100MPa增加到150MPa且稳定的状态。喷油嘴的喷油速率及高压油泵柱塞的压油过程如图1所示。

（a）喷油速率示意图

（b）高压油管示意图

2 模型的建立与求解

2.1 基本假设

为便于问题的解决与模型的建立，提出以下几点假设：（1）在进油和出油的一个较短时间内，假设油管内的压强P不变;（2）假设油管内压强为P时，油管各处压强均匀分布;（3）流体在压力差生成时的传递在毫米精度的高压

油管内看作是瞬时的;（4）假设高压油管的容积不会因内

部高压油的作用而发生膨胀[9]。

2.2 流量状态转换方程的模型构建

燃油的压力变化量？驻P与密度变化量？驻？籽成正比关系，且比例系数为，初始条件在压强为100MPa情况下，燃油的密度为0.850mg/mm3，推导出二者的关系式为：

式中，流量系数C=0.85;A为小孔的面积，单位：mm2; ？驻P为小孔两边的压力差，单位：MPa;？籽为高压侧燃油的密度，单位：mg/mm3;Q为单位时间内流过某小孔A的燃油量（mm3/ms）。

高压油泵在单位时间内的供油量QA和喷油嘴在单位时间内的输油量QB对时间dt的累加和，在一个周期之内可以看作是相等的，保证高压油管中的压力能够稳定在100MPa。单位时间内可能出现的情况如表1所示。

对于高压油管整体而言，每一时刻都存在上述情况的状态转移。上一状态A端流入的流量变化和B端流出的流量变化即为下一时刻高压油管的流量变化，从一个周期的时间维度上看二者是没有发生变化，故可以得出整体状态转换方程：

式中，PA指A端流入的油体压强;V指高压油管的体积;VA，B指A端流入或B端流出的油体体积;P和P′分别指高压油管产生流量变化前后的压强。利用差分的方法推进状态转换方程，即可求解出到达动态平衡状态所需要的参数。

2.3 模型的求解

对于高压油泵，根据已知数据和公式（3）计算出对应压力下的燃油密度，通过孔径尺寸可以得到单向阀阀口面积，结合公式（4），能够计算出单位时间内的燃油流入量15.3506mm3/ms。对于喷油器，默认外界标准大气压为101kPa，利用相同的方式能够计算出单位时间内的燃油输出量。结合状态转换方程，通过对瞬时流量的计算能够得知每一时刻高压油管内部的流量变化。不断更新下一状态，利用均值函数寻找在周期范围内稳定在100MPa的情况下所需要的单向阀开启时间。基于Matlab编程求解的流程如图3所示。

基于上述差分思想求解得到了100MPa时单向阀的单次开启时间t0=0.2846ms。压强达到稳定状态的图像如图4所示。

由图4可以得知，高压油管在100MPa状态时达到的稳定是周期性波动稳定，压力的波动范围在±1.2MPa之内，故将单向阀的单次开启时间t0设置为0.2846ms能够很好地将高压油管内部的压强控制在100MPa左右。图4同样表明，在不改变喷油口的周期t和高压油管内部压强P的情况下，单个t0只能够对应单个稳定压力。因此对于限定时间条件在2s、5s、10s内高压油管增压至150MPa且达到稳定的单向阀开启时长调整，采用了对增压方式进行分段式处理方法，即在压力增强阶段依据限定时间划分区间，单向阀按照划分的时段分段开启，将压力增强阶段的单向阀开启时间设为t和趋于稳压阶段的开启时间设为t0。得到的各限定时间条件下的稳压状态图与稳压周期图如图5所示。

综上所述，单向阀的单次开启时间t0对应的稳定压力是固定的，分段式处理方法通过不断调节增压阶段的单向阀开启时长很好地控制了到达稳压的时间点。

3 结果分析

单周期内喷油嘴喷油量QA已知的情况下，由于高压油管系统需要在周期内保证压力的稳定性，因此可以认为单周期的流量输入和流量输出总量相同。假定在各周期内有P=P0系统压力等式，构建进油口A和出油口B在各自周期内的平均流量相等等式：

式中，mA，B指A端进油或B端出油的质量;TA，B指A端进油或B端出油的温度。最终得到计算的单向阀单次供油时长t0推导式：

故可以计算出高压油管内压力达到100MPa时的单向阀单次供油时长t0=0.288ms，增压达到150MPa时的单向阀单次供油时长t0=0.751ms。依照相对误差=（计算值-约定真值）/约定真值，分别计算出二者的相对误差为1.19%和0.40%，因此可以认为该模型的具有较强的合理性和准确性。

4 结束语

本文基于逐差法状态转换方程的数学建模思想，构建了高压油管内压力稳定在一定范围内的油体近似转换方程。利用Matlab软件求解，最终得到高压油管稳压在100MPa时的单向阀的开启时长为0.2846ms，当油管内压强增加到150MPa时，结合分段式处理得到了单向阀每次开启时段与时长的控制方案，最终达到稳压时的单次开启时长均为0.754ms。利用前后高压油管内油体的压力和流量近似不变的原理，得到了t0对于压强P的影响因素方程，对模型的精度进行验证，最终得出结果的相对误差分别为1.19%和0.40%，认为模型的构建与分段式处理方法具有较高的可靠性，对高压油管的压力控制提供了一定的参考价值。

参考文献：

[1]孔程程.燃油发动机高压油管压力控制的研究[J].内燃机与配件，2020（07）：36-38.

[2]韩露，杨钰莹.基于极值思想的高压油管压力控制[J].科技创新与应用，2020（16）：103-105+109.

[3]陆毅，沈薇，钱星光.基于差分方程的高压油管压力控制[J].科技创新与应用，2020（07）：25-27+32.

[4]蔡建明，林毅豪，李舒，等.一类高压油管控制问题的建模与数值分析[J].当代化工研究，2020（09）：36-39.

[5]蒋思琦，王畅，杨丽宁.高压油管压力控制[J].现代商贸工业，2020，41（09）：203.

[6]杨永琪，徐欣蕾，徐海洋，等.基于多目标动态规划模型的高压油管压力控制问题的研究[J].电脑知识与技术，2020，16（06）：255-256.

[7]李拴拴.環保制冷工质HFOs的状态方程研究[D].山西：太原理工大学，2019.

[8]袁清.（2+1）-味格点QCD状态方程在相对论流体力学中的应用[D].湖北：华中师范大学，2019.

[9]张永毅.16V240ZJD2型柴油机高压油管设计和计算分析[J].科技资讯，2012（04）：87.