薛 欢 杜剑南 路江江

一、问题提出

随着时代的不断发展，我国高考试卷呈现出从多样化发展到统一化回归的趋势[1]，高考全国卷随之成为众多研究者关注的焦点。试卷难度一直是研究者们讨论的热点，而综合难度模型是研究试卷难度的重要工具之一。该模型起源于学者Nohara 提交给美国国家教育统计中心的一份工作报告，该报告首次提出了总体难度（overall difficulty）的概念。2002 年，我国学者鲍建生在总体难度的基础上提出了关于数学习题评价的综合难度模型[2]，随后许多研究者在该模型的基础上不断深入研究，比较分析了不同国家教材版本之间的难度水平[3][4][5]。近年来，有研究者利用综合难度模型对中、高考数学试题的难度进行研究，其中，武小鹏团队在已有模型的基础上，结合高考数学试题特点对模型的影响因素不断进行调整和完善，从背景因素、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平、有无参数等因素出发，对高考数学试题难度进行了比较。[6][7]

通过文献阅读与梳理，笔者发现已有研究中很少有人针对某个知识单元进行高考数学试题的难度探讨，且基本没有涉及高考数学“统计与概率”试题的难度。基于此，本研究依据近年来高考数学的命题趋势，对已有的综合难度模型进行调整，并对2016—2020 年（以下简称近五年）高考数学（理科）全国卷的“统计与概率”试题进行难度比较，分析近年来高考数学全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题的难度特点及差异，以期为“统计与概率”知识单元的命题和教学提供参考。

二、研究方法

1.研究对象

本研究选取近五年高考数学（理科）15 套全国卷中“统计与概率”知识单元涉及的试题，其中全国Ⅰ卷有22 个题目，全国Ⅱ卷有19 个题目，全国Ⅲ卷有17 个题目，共计58 个题目，具体数量和类型如表1 所示。

表1 近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题取样结果

从表1 我们可以看出，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题在数量和题型分布上的差异很小。全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷的“统计与概率”试题在数量上依次递减；在题型分布上单选题、解答题的题量基本一致，但全国Ⅲ卷的填空题没有对“统计与概率”知识单元进行考查。对题型及数量的分析只能观察到试题的表面现象，想要更加深入地解析试卷，研究者需要借助科学的研究工具进行更深层次的探讨。

2.研究工具及应用

（1）综合难度模型的建立

表2 “统计与概率”试题综合难度模型的结构与内涵

根据近年来高考数学命题的趋势和与英语教育教学专家、一线教师的研讨，结合“统计与概率”知识单元的内容特点，本研究对武小鹏团队的综合难度模型进行调整，将模型的影响因素修订为背景因素、参数因素、运算水平、推理能力、知识含量、解题思维、认知水平、条件含量及阅读量（字符）9 个因素。其中，条件含量、阅读量（字符）是两个新增因素，以此凸显高考试题的命题变化，条件含量因素又划分为“单个条件”“两个条件”“3 个及以上”3 个水平，阅读量（字符）因素又划分为“少量”“中等”与“大量”3 个水平。在整合数学学科特点与高考数学命题特点的基础上，研究者对其他几个难度因素的水平进行了重新划分，使模型编码更具可操作性，以期更准确地衡量数学试题的难度，具体模型如表2 所示。

依据表2 的综合难度模型框架，本研究先确定试题各难度因素的水平划分，并进行相应的编码、赋值，再通过加权平均计算各难度因素的综合难度系数di，计算公式是：

其中，di（i=1，2，3，4，5，6，7，8，9）表示9 个难度因素上的取值；dij表示第i 个难度因素的第j个水平的权重；nij表示这组题目中属于第i 个难度因素的第j 个水平的题目的个数；n 表示题目的总数。[8]

（2）模型数据的收集与分析

按照表2 中不同因素的界定，本研究将近五年高考数学（理科）15 套全国卷中“统计与概率”知识单元涉及的题目进行分类编码。我们邀请了5 名数学教育硕士对试题进行编码，并邀请2 名一线数学教师对其分析结果进行一致性检验，由此确定每道试题各个难度因素的编码。如例1、例2可编码如下。

例1［2019 年高考数学（理科）全国Ⅰ卷第6题］：我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

试题分析：

此题难度水平如下：科学背景（以数学文化和图形的方式呈现）；无参数（不涉及相关参数变量）；简单符号运算（简单概率运算）；一般推理（包含3 步：一是利用分步乘法计数原理求样本空间所含的基本事件数，二是利用组合数求事件发生所含的基本事件数，三是利用古典概型的概率计算公式求事件发生的概率）；知识含量中等（包括古典概型、计数原理、组合数公式应用）；顺向思维（按照现有的知识点直接解决实际问题）；综合分析水平（本题可用条件较多，需要深入分析和综合应用才能求解）；条件含量3 个及以上（本题可供使用的条件包括：6 个爻组成一重卦，分为阳爻和阴爻，图形示例，随机抽取）；阅读量中等（约100 个字符）。

例2［2019 年高考数学（理科）全国Ⅲ卷第17 题］：为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A、B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

甲离子残留百分比直方图

乙离子残留百分比直方图

记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

试题分析：

参照例1 的讨论分析，可得例2 问题（1）属于综合背景、有参数需讨论、简单数值运算、简单推理、知识含量少量、顺向思维、运用水平、条件含量3 个及以上、阅读量大量（字符总数在100以上）的试题。

问题（2）属于综合背景、无参数、简单数值运算、简单推理、知识含量少量、顺向思维、综合分析、条件含量3 个及以上、阅读量大量（字符总数在100 以上）的试题。

按照表2 中试题编码的界定，本研究对近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”知识单元涉及的58 个题目一一进行编码、赋值，形成原始编码数据，并通过进一步统计分析得到表3。其中，题目数的统计方式是按照各卷试题的影响因素所处水平划分统计的；百分比的计算方式是用各影响因素中的某一水平的题目数除以该卷所对应的试题总数（保留两位小数），如全国Ⅰ卷中“无实际背景”水平的百分比是1÷22=4.55%；综合难度系数按照公式（1）进行计算。

表3 近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题综合统计

三、研究结果

依据表3 的统计结果，本研究分别对影响近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题难度的9 个因素进行全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）之间的比较分析，最后根据收集的各因素综合难度系数di，绘制出反映“统计与概率”试题综合难度的模型雷达图，并根据雷达图的整体态势分析“统计与概率”知识单元试题的难度特征。

1.背景因素

背景因素的统计结果如图1 所示。

图1 背景因素不同水平变化折线对比

从图1 可以看出，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题对背景因素的考查较为广泛，且绝大部分试题属于生活背景和综合背景。但在对各背景因素的考查上，全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷之间的侧重点又各有不同：全国Ⅰ卷更注重生活背景的考查；全国Ⅱ卷更侧重生活背景和综合背景的考查，考查科学背景的试题不多；全国Ⅲ卷更注重综合背景的考查。

对照各卷具体试题我们可以发现，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题在知识的联系上都强调数学知识与实际背景的联系，而不是单纯地考查数学知识本身。例如，2019 年全国Ⅱ卷第18 题和2020 年全国Ⅰ卷第19 题，在背景因素的考查上以生活背景为主，通过我们熟知的乒乓球比赛和羽毛球比赛引出数学问题，这有助于培养学生用数学的眼光观察身边正在经历的事物。

2.参数因素

参数因素的统计结果如图2 所示。

图2 参数因素不同水平变化折线对比

从图2 可以看出，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题对参数因素的考查基本一致，都有较高比例的无参数试题，而有参数不需要讨论和有参数需讨论的试题占比较低。通过深入分析试题可以发现，有参数不需要讨论的试题主要涉及用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）或离散程度参数（标准差、方差、极差）；有参数需讨论的试题主要包含用样本相关系数了解一元线性回归模型求解、二项式含参求解以及相关扩展性问题。例如，2017 年全国Ⅲ卷第18 题，第一问没有涉及参数，只需要进行简单概率运算求出关于日需求量X 的分布列；第二问则需要通过对日进货量n 进行分类讨论，求解出关于日利润Y 的数学期望最大值，这种在实际问题应用过程中渗透分类讨论思想的方法对学生的思维发展有较好的提升作用。

3.运算水平

运算水平的统计结果如图3 所示。

图3 运算因素不同水平变化折线对比

从图3 可以看出，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题对运算水平的考查以简单数值运算和简单符号运算为主。全国Ⅰ卷中，考查简单符号运算的试题占比68.18%；全国Ⅱ卷中，考查简单数值运算和简单符号运算的试题占比都较高；全国Ⅲ卷中，考查简单数值运算的试题占比高达52.94%，但考查复杂数值运算和复杂符号运算的试题占比较低。这可能与“统计与概率”知识单元的内容特点有关，即主要涉及计数原理、二项式定理和简单概率计算公式等的直接应用，很少涉及复杂计算。这也反映了高考数学正在逐步增加学生的思维量，减少复杂运算，并逐渐向“一多一少”靠拢，即多考一点想的，少考一点算的[9]，这一点在“统计与概率”知识单元的试题解答过程中体现得较为直接。

4.推理能力

推理能力的统计结果如图4 所示。

图4 推理能力不同水平变化折线对比

从图4 不难看出，全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷“统计与概率”试题对推理能力的考查水平基本一致，两卷考查简单推理、一般推理和复杂推理水平的试题比例都大致为6:3:1。但全国Ⅰ卷中考查简单推理的试题占比低于全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷，考查一般推理和复杂推理的试题占比均高于全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷。相对而言，全国Ⅰ卷对于推理能力的考查比重略高于全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷。例如，2019 年全国Ⅰ卷第15 题属于复杂推理，此题以篮球比赛为知识背景，需要学生运用已知条件结合分类计数和分步计数原理求概率的方法推导出甲队获胜的概率。

5.知识含量

知识含量的统计结果如图5 所示。

由图5 可知，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题对知识含量的考查主要集中在少量水平上，中等水平和大量水平的题目相对较少，基本上是解答题。相对而言，全国Ⅰ卷、全国Ⅲ卷对于知识含量的考查水平基本保持一致；全国Ⅱ卷知识含量中等水平的试题占比高于全国Ⅰ卷、全国Ⅲ卷，知识含量大量水平的试题较少。例如，2017 年全国Ⅱ卷第18 题考查了相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、中位数的计算、独立性检验等基础知识，属于知识含量的中等水平，意在考查学生的数据处理能力、运算求解能力及应用意识。

图5 知识含量不同水平变化折线对比

6.解题思维

解题思维的统计结果如图6 所示。

图6 解题思维不同水平变化折线对比

高考数学试题的解题思维是展示学生综合运用所学知识求解实际问题的重要方式之一，可以客观反映学生的思维水平。图6 表明，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题在解题思维上以顺向思维为主，涉及少量的逆向思维考查。这表明，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）对“统计与概率”试题的考查主要是让学生运用现有的知识点直接解决相关数学问题，如运用二项式定理解决有关二项展开式的简单问题。例如，2018 年全国Ⅲ卷第8 题需要学生首先判断移动支付的概率分步是否符合二项分布，这是解决本题的关键所在，是对学生逆向思维的直接考查。

7.认知水平

认知水平的统计结果如图7 所示。

图7 认知因素不同水平变化折线对比

由图7 可知，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题对认知水平的考查基本保持一致，考查运用水平和综合分析水平的试题共占比90%左右，考查识记水平的试题相对较少。由此可以说明，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题对认知水平的考查侧重于知识的运用与综合分析，这正好符合“统计与概率”试题的知识特征和考查方式[10]，即“统计与概率”与实际情境结合紧密，主要考查学生数据处理、运算求解的能力及分析问题、解决问题的能力。例如，2017 年全国Ⅲ卷第3 题，以某城市游客人数变化规律绘制折线图，考查学生的识图能力，属于运用水平的考查。

8.条件含量

条件含量的统计结果如图8 所示。

图8 条件含量不同水平变化折线对比

从图8 可以看出，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题考查3 个及以上条件的较多，占比均在80%以上。其中全国Ⅱ卷考查3 个及以上条件的试题占比为100%，未涉及单个条件和两个条件的试题；全国Ⅰ卷、全国Ⅲ卷对单个条件和两个条件水平的考查也相对较少。对试卷进行深入分析后本研究发现，“统计与概率”试题所含条件相对较多，学生需要从众多信息中提取有效信息，由此说明“统计与概率”试题比较注重对学生数据分析能力的考查。[11]例如，2019 年全国Ⅰ卷第15 题就考查了3 个及以上条件，其中包括篮球比赛规则、甲队主客场次序、甲队主客场取胜概率等可用条件，需要学生整合试题中的有效信息进行求解。

9.阅读量（字符）

阅读量（字符）的统计结果如图9 所示。

图9 阅读量（字符）不同水平变化折线对比

综合分析近年来的高考试卷，我们不难发现，试题阅读量的增加已经成为一种趋势。而在高考数学试卷中，“统计与概率”知识单元是承担阅读量增加的重要题型，这一点在图9 中体现较为明显。全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题阅读量处于大量水平的试题占比均在75%以上，说明试题提供的信息量越来越大，使得试题中的干扰信息越来越多，这无疑会使学生直接从题干中提取有效信息更加困难。学生需要对试题进行深入的剖析和理解，这是对学生数学阅读能力更高水平的发展要求。如2020 年全国Ⅱ卷第3 题以新冠肺炎疫情防控期间的快递配送为背景，阅读量约为180 字符，需要学生在有效的时间内完成题目阅读、信息提取、模型建构。因此，在“统计与概率”教学中，教师有必要加强学生的数学阅读训练和指导，帮助学生掌握科学的数学阅读方法和技能，养成良好的阅读习惯，从而更好、更主动地阅读、理解、掌握数学知识。[12]

10.综合难度分析

为了进一步探究影响高考数学“统计与概率”试题综合难度的主要因素，本研究对表3 中各影响因素的综合难度系数进行数值平均，得到了近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题的平均难度系数Xd，如表4 所示。依据表4，笔者绘制出反映近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题综合难度系数雷达图，如图10所示。

表4 近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题各难度因素的平均难度系数

从试卷平均难度系数来看，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题难度总体上保持一致，只在个别难度因素上存在差异，这充分肯定了我国高考数学试卷的命制工作，说明全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）的试题命制在综合难度上的尺度比较一致。相对来说，全国Ⅰ卷难度最大，平均难度系数为2.09；全国Ⅱ卷次之，平均难度系数为2.05；全国Ⅲ卷难度最小，平均难度系数为2.02。这一难度分布，契合了我国不同区域之间经济、文化等方面发展水平不一的特点。需要说明的是，不同地区的学生在数学学习方面存在差异，即使同一地区的学生在不同数学知识的学习上也会存在差异，因此，综合难度系数的比较仅仅是一个理论难度，在不同学生的表现上可能存在偏差。

图10 近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题综合难度系数雷达图

通过雷达图我们可以得到如下发现。

（1）在运算水平和推理能力方面，全国Ⅰ卷“统计与概率”试题的难度明显高于其他两卷，而在参数因素上又明显低于其他两卷；在背景因素方面，全国Ⅲ卷“统计与概率”试题的难度明显高于其他两卷；在条件含量方面，全国Ⅱ卷“统计与概率”试题的难度也高于其他两卷；在知识含量、解题思维、认知水平、阅读量（字符）4 个因素方面，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题的难度差异不大，难度水平基本相当。

（2）在9 个难度因素中，全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题的参数因素、推理能力、知识含量、解题思维的综合难度系数相比其他5个因素要小很多，而背景因素、条件含量、阅读量（字符）的综合难度系数相比其他因素要大一些，说明“统计与概率”知识单元试题比较注重背景因素、条件含量和阅读量（字符）的考查。

（3）全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷“统计与概率”试题在背景因素上的综合难度系数依次增加，在运算水平上依次递减，且综合难度系数差距均在0.15 以上；而在知识含量、解题思维、认知水平、阅读量（字符）4 个因素上表现出了较高的一致性，差异非常小。

（4）对全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“统计与概率”试题9 个因素的难度系数值进行观察及估算，笔者发现，全国Ⅰ卷“统计与概率”试题各因素难度系数极差约为1.72，全国Ⅱ卷约为1.84，全国Ⅲ卷约为1.82，说明全国卷“统计与概率”试题在9 个难度因素上的平衡性还有待加强。

四、结论及命题建议

1.研究结论

依据表2 的“统计与概率”试题综合难度模型结构与内涵，本研究对近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题进行了全面分析，发现全国卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）关于“统计与概率”知识单元的考查具有以下特点：内容表述突出情境性、问题解决体现发展性、数学阅读展现多样性，且试题难度略有差异性。

（1）高考数学“统计与概率”知识单元试题的内容表述突出情境性

图1 表明，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题对于背景因素的考查较为广泛，以生活背景和综合背景为主，其本质在于反映数学源于生活，又要应用于生活，两者之间密不可分。高考数学“统计与概率”试题对问题情境的重视程度日益上升，这也使得问题情境成为影响试题难度的重要指标之一。如《普通高中数学课程标准（2017 版）》[13]在命题建议中就曾提到：选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体。

（2）高考数学“统计与概率”知识单元试题的问题解决体现发展性

从认知水平、条件含量这两方面看，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题非常关注学生问题解决能力的发展。在认知水平方面，全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷处于运用水平和综合分析水平的试题比重都在90%以上；在条件含量方面，全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷也都设计了不少考查3 个以上条件的试题。对于“统计与概率”知识的运用与综合分析类试题，学生需要在有限时间内读完题目、理解题意，并能从题干中提取有效信息，从而完成解答。这对学生的数据分析能力、问题解决能力提出了更高要求，这也是试题难度增加的重要原因。

（3）高考数学“统计与概率”知识单元试题的数学阅读展现多样性

依据图9 我们可以看出，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题对于阅读量的考查非常重视，阅读量处于大量水平的试题均在70%以上，足以证明高考数学试卷对于阅读能力的要求越来越高。数学阅读是学生从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程，不仅包括对数学文字语言、符号语言、图表语言的理解、记忆、认知等过程，还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程，数学阅读是区别于一般阅读的较为复杂的智力活动。[14]随着数学阅读量的增加，学生将出现更复杂的思维过程，这会直接影响试题的难度，因此，学生逻辑思维能力的发展至关重要。

（4）高考数学“统计与概率”知识单元试题的难度略有差异性

图10 和其他研究结果充分表明，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题难度基本一致，只在个别难度因素上存在细微差别。综合来看：高考数学“统计与概率”试题对背景因素、运算水平、认知水平、条件含量和阅读量（字符）的考查要求较高，这正是个别难度因素差异的根源所在；反观参数因素、推理能力、知识含量和解题思维，这几个因素在具体试题中的考查水平都较低且差异较小。

2.命题建议

在大数据时代，“统计与概率”知识正逐步应用到社会生产生活的方方面面，已经成为人类不可或缺的知识储备。高考数学试题对“统计与概念”知识的考查比重也逐年加重，在考查手段、设问方式、答案设置等方面都有了较多的变化。[15]结合上述近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题难度的比较分析，笔者提出以下几点命题建议。

（1）在知识含量方面，注重各数学知识间的整合

从上述研究可知，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题中80%左右对知识含量的考查处于少量水平。高考数学在考查过程中要体现基础性、综合性、应用性和创新性，其中，综合性指数学知识体系的内部联系，强调数学各分支内容的相互交叉与渗透[16]，这种知识间的交叉、渗透及整合，可以帮助学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构。

因此，在命制“统计与概率”试题时，命题人员需要充分考虑多个知识之间的相互联系，可以适当增加跨章节（如，从1 到30 中任取一个数，取到素数的概率是多少？回答这个问题，学生需要联系素数这一数学知识[17]），以及与实际生活常识等相关的试题，从而增加考试内容的综合性，这也有利于学生进行知识的迁移与应用。

（2）在解题思维方面，增加对学生逆向思维的考查

从上文分析可知，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题80%以上都考查顺向思维，考查逆向思维的试题较少。数学思维是个体思考问题和解决问题的一种思维方式，分为正向思维和逆向思维，而逆向思维就是与常规正向思维方向相反的思维过程，常表现为执果索因的推理顺序。[18]像这种让学生逆用现有的知识结构顺序，间接或逆向解决相关数学问题的试题，可以有效促进学生思维水平的发展，如反证法、举一反三等。

因此，在命制“统计与概率”试题时，命题人员可以适当增加一些考查学生逆向思维的试题，如逆用数学公式、将数据与图表相互转化、举反例，以及利用倒推法或反证法求解等，这有利于学生逆向思维的培养，在一定程度上可以促进学生问题解决能力的发展。

（3）在综合难度方面，均衡各难度因素，优化试卷质量

本研究表明，近五年高考数学（理科）全国卷“统计与概率”试题在9 个难度因素上的平衡性有待加强，具体表现在：参数因素、推理能力、知识含量、解题思维的综合难度系数值比其他5 个因素要小一些，背景因素、条件含量、阅读量（字符）的综合难度系数值相比其他因素要大一些。编制一套高质量的高考数学试题，最大的价值追求就是既要保证难度设计的科学合理又能检测出学生的真实水平，同时还要充分发挥高考数学试题的选拔功能和积极导向作用。但在实际的高考试题命制过程中，由于各部分内容的目标定位和各难度因素所起的作用不同，命题人员未必能做到十全十美。

因此，高考数学“统计与概率”的试题编制在设定各难度因素的平衡性时，应依据高中数学课程改革的目标要求，秉持发展学生的数学核心素养、服务高校高质量选拔人才等理念，深入一线，通过问卷调查、深度访谈等形式，了解不同区域、不同层次人员对高考试题的需求，从每个难度因素的科学性、合理性、全面性等方面出发，均衡各难度因素，优化试卷质量。

注释：

①解答题中的条件含量是按照题干涉及的可用条件数进行统计的。例如，某解答题中若问题2 用到问题1 的结果，则将结果统计到问题2 的条件含量中。

②解答题中的阅读量（字符）是按照题干涉及的字符数和问题字符数之和进行统计的。例如，某解答题中若问题2 涉及题干信息，则将题干信息的字符数统计到问题2的阅读量中。