石孟鑫，司伟建

（哈尔滨工程大学，黑龙江 哈尔滨 150001）

0 引言

极化敏感阵列可以同时获得入射信号的空间方向信息和极化状态信息[1-3]，广泛应用于军事和民用领域，如多输入多输出雷达、声纳和移动通信等[4]。极化敏感阵列由于在增强信号和抑制干扰方面的明显优势，近年来受到了广泛关注[5-7]。相比于普通标量阵列，极化敏感阵列中的极化信息可以拓展抗干扰处理的自由度[8]。同时，极化敏感阵列能够有效提高测向系统的空间分辨力和角度估计精度[9-10]。但是，这也带来了一些问题。由于极化信息的引入，阵列信号处理的计算维数由原来的空间域二维计算转变为空间-极化联合域的四维计算，算法计算复杂度显著升高，需要利用降维的极化算法提高工程实时性。文献[11]中，利用建立的电磁矢量传感器阵列的四元数模型及其正交性，使用四元数MUSIC算法获得入射信号的DOA，然后利用传统算法获得极化信息。文献[12]提出了相位匹配算法，虽然避免了四维谱峰搜索的计算复杂度，但只针对共形天线的均匀圆阵阵列模型，且需要根据相位校准数据对目标初始位置进行相位校准，以确定入射信号的精准位置。文献[13]提出了一种实时的超宽频带测向方法，但无法对多个信号同时进行角度估计。文献[14-15]中提出了一种适用于极化敏感阵列的秩亏MUSIC 算法。利用矩阵秩亏理论，真正将四维谱函数降维为二维谱函数，二维谱函数只与空域参数有关。通过空间谱搜索得到入射信号的DOA，然后直接计算出入射信号的极化参数。

文献[16]中提到，传统空间谱估计算法往往要求入射信号数小于阵元数。此外，阵元的位置和孔径大小对测向结果有着非常大的影响，因此阵元数目的选择、阵元的摆放是否合理对测向结果至关重要。文献[17-18]的算法仅利用两阵元实现了多目标测向，但只适用于标量阵列。

大部分的超分辨力测向方法需要得到准确的阵列流形[19]，但在实际应用中，每个阵元通道信号的振幅增益和延迟时间不一致，因此获得的真正阵列流形矩阵与研究时的理论模型之间往往存在一定的差距，是很多测向算法在实际应用中测向性能下降的主要原因之一。传统的阵列信号处理技术要求多天线并行采样，接收通道与阵元数一一对应，导致硬件系统太过昂贵复杂。在多接收机的应用中，信道之间仍然存在不一致性[20]。因此，需要提出一种新的阵列模型来避免多通道引起的幅相误差对测向精度的影响，并且在引入极化信息的同时，保证算法的计算复杂度没有增加。为此，提出了一种联合DOA 和极化信息的极化敏感旋转阵列。首先构造正交偶极子对旋转阵列模型，其次利用秩亏法获得入射信号的DOA，最后用广义特征值法得到入射信号的极化信息。

1 阵列模型

1.1 双旋转正交偶极子对模型

以X轴原点为旋转中心，在X轴两端对称放置两个正交偶极子对。它们与旋转中心的距离为d。为方便，将正交偶极子对摆放为平行于X轴和Y轴的正交偶极子，如图1 所示。两个阵元逆时针方向均匀旋转，转速为fz(r/s)，则天线盘的旋转周期可以表示为T=1/fz。天线盘转动的过程中时刻与旋转轴保持垂直。按等时间间隔选取2M个阵元，使其在T/2 时间内选取完毕并形成虚拟阵元。为确保旋转阵列的稳定，连续两个阵元之间的时间间隔Δτ的选取应远远大于接收机的数据采样周期(Δτ＞＞Ts)，其中Ts表示接收机的采样周期，且Δτ=T/2M=1/2Mfz。Δτ应该满足以下方程：

式中，fs为接收机采样频率。假设快拍数为L，可以得到：

由式（2）可以看出，天线盘的转速应该满足：

因此，如果式（3）成立，则可以保证算法的稳定。

图1 双旋转正交偶极子对阵列

1.2 接收数据矢量矩阵的构成

设有D个窄带远场不相关信号源入射到如图1所示的阵列模型中，当各正交偶极子对逆时针旋转半个周期时，以等时间间隔Δτ选取2M（M为正整数）个阵元。入射源数和阵元数之间应该满足关系D＜2M。第k个入射信号的来波方向和极化信息表示为(θk,φk,γk,ηk)k=1,2,3,…,D。方位角θ∈[0,2π)为入射信号在XOY平面的投影与X轴正方向的夹角，俯仰角φ∈[0,π/2)为入射信号与Z轴正方向的夹角，γ∈[0,π/2)为极化辅助角，η∈[-π,π)为极化相位差。由于每个阵元由正交偶极子对组成，因此第k个信号在X轴和Y轴方向上的极化矢量可表示为：

考虑式（4）和式（5）两个表达式，正交偶极子对的空域-极化域导向矢量可以表示为：

由等时间间隔Δτ内选取2M 个输出数据组成的阵列接收数据矢量X可以表示为：

式中，X1和X2分别为旋转的双正交偶极子1和双正交偶极子2 在半个周期内接收的数据所构成的接收数据矢量。阵列旋转过程中的采样延迟不可避免，因此各阵元间必然会产生附加的相位矩阵，由Φ表示：

由提到的旋转阵列模型可知，第m个阵元的位置坐标可以表示为：

以阵列旋转的中心作为参考点，信号k入射到直角坐标系的入射方向单位向量为：

那么，信号的空间相移因子可以表示为：

综上所述，信号k在旋转阵列模型中的阵列导向矢量矩阵可以表示为：

式中，⊗表示克罗内克积，T 表示矩阵的共轭转置，k=1,2,3,…,D。

此外，阵列流形矩阵A可以表示为：

式中，子矩阵A1和A2分别是由旋转阵元1 和旋转阵元2 得到的阵列流型矩阵。

式（7）中，S(t)为入射信号矩阵，表达式为S(t)=[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T；N(t)为噪声矩阵，表达式为N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T。

2 提出的算法内容

下面重点介绍基于图1 阵列模型的联合谱参数估计算法。

2.1 信号空间角信息的估计

综上，可以得到旋转阵列模型下的接收数据矢量X，其协方差矩阵可以表示为：

由式（7）可知，协方差矩阵可以进一步表示为：

于是，可以分别得到信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵的表达式：

考虑到实际应用过程中接收到的数据矩阵是有限的，则可由极大似然估计得到协方差矩阵RX，表示如下：

式中，L表示快拍数。

首先，对协方差矩阵RX进行特征分解，得到2M 个特征值和与之对应的特征向量：

将得到的2M个特征值按照降序排列为λ1≥λ2≥…≥λD＞λD+1=…λ2M。相应地，噪声子空间UN可以由协方差矩阵RX特征分解得到的后(2M-D)个特征向量组，即：

其次，根据信号子空间和噪声子空间具有正交性，并且由信号子空间张成的空间与导向矢量矩阵所张成的空间具有一致性，可知噪声子空间中任一噪声特征向量与阵列流形矩阵中任一列向量具有正交性。

由于协方差矩阵RX是由有限的观测数据估计得出，当UN出现一点偏差，式（23）的等式右边就不再是一个零向量。因此，对式（23）进行转换，则联合空域-极化域谱函数如下：

最后，不断改变θ、φ、γ、η的值，对谱函数进行谱峰搜索，可以求得D个极大值点对应的信号的DOA 及其极化参数。

由于直接进行四维谱峰搜索的计算量巨大，考虑到实际工程中的实时性，需要对计算过程进行降维处理，由此引入了秩亏MUSIC 算法。

2.2 秩亏MUSIC 算法

根据上文所述，引入一个新的变量q(θ,φ,γ,η)，表示为：

若变量q(θ,φ,γ,η)得到最小值，则空间谱函数得到最大值，则：

显然式（28）和（31）的解是唯一的，表明矩阵Hθ,φ只有当(θ,φ)的值等于信号DOA 的真实值时才是秩亏的，其中(θ,φ)∈因此，DOA的估计可以转换为求解以下优化问题：

2.3 极化参数估计

入射信号的DOA 和极化信息的求取，可以通过解决以下优化问题得到：

式（33）可以被进一步写成：

该优化问题可以由拉格朗日乘子法解决，构造方法如下：

分别对h和μ求偏导，可以得到：

由式（36）可知：

拉格朗日乘子μ是矩阵束的广义特征值，hγ,η是其广义特征向量。因此，最小特征值对应的特征向量一定包含入射信号的极化信息。

3 算法仿真结果及性能分析

设置旋转阵列模型的半径d=0.124 m，虚拟阵元数2M=8，快拍数L=100，接收机采样频率fs=50 MHz。根据式（3）计算得转速R＜＜48828 r/s，以确保阵列匀速旋转。由文献[18]可知，基线转速一般选取10～20 r/s，仿真转速R=15 r/s。

3.1 算法仿真图

为验证本文算法的有效性，设置多个独立辐射源入射到极化敏感阵列。设置入射噪声为零均值的高斯白噪声，入射信号频率f=3 GHz，信噪比SNR=13 dB，快拍数为100。将入射信号的方位角、俯仰角和极化辅助角、极化相位差表示为(θk,φk,γk,ηk)，k为信号数。图2 和图3、图4 和图5、图6 和图7 分别为2 个、3 个、4 个入射信号的算法仿真图，表1 为4 个入射信号情况的下信号空域信息和极化域信息估计值与真实值的对比。

图2 2 个入射信号（30，25，75，25）和（60，60，21，17）角度信息谱峰

从图2～图4 和表1 可以看出，新算法仅用两阵元能够分别成功分辨出2 个、3 个、4 个入射信号，且能够准确找到与之对应的入射信号位置和极化信息。初步证明了新算法的DOA 估计是可行的。

图3 2 个入射信号（30，25，75，25）和（60，60，21，17）极化信息

图4 3 个入射信号（45，20，30，15）、（90，40，60，30）和（135，65，85，90）角度信息谱峰

图5 3 个入射信号（45，20，30，15）、（90，40，60，30）和（135，65，85，90）极化信息

图6 4 个入射信号（10，40，50，22）、（30，25，75，200）、（80，18，20，50）和（135，65，10，80）角度信息谱峰

图7 4 个入射信号（10，40，50，22）、（30，25，75，200）、（80，18，20，50）和（135，65，10，80）极化信息

3.2 算法性能

信号的DOA 估计值的均方根误差RMSE为：

式中，CS为蒙特卡洛实验次数，D为入射信号数。

假设空间有两个独立的辐射源，方位角、俯仰角和极化辅助角、极化相位差(θ,φ,γ,η)分别为（30，25，75，25）和（60，60，21，17）。不考虑通道之间不一致的影响，快拍数设置为100。通过改变信噪比，进行200 次蒙特卡洛实验，用提出的算法和6 阵元正交偶极子圆阵的性能进行比较，仿真结果如图8 所示。

同理，设置信噪比为8 dB，依次提高快拍数，进行200 次蒙特卡洛试验，观察本文提出的算法与6 阵元正交偶极子圆阵算法的均方根误差随快拍数变化关系，结果如图9 所示。

表1 四入射信号仿真值与真实值对比

图8 均方根误差随信噪比变化的关系

图9 均方根误差随快拍数变化的关系

入射信号不变，信噪比设置为13 dB，快拍数为100。所有通道中，两两通道间相差最大从0°开始，以步进为5°递增，直至通道间不一致达到最大20°。本文算法与6 阵元正交偶极子圆阵算法对入射信号方位信息估计的均方根误差仿真结果如表2 所示。

表2 算法性能与通道不一致性的关系

图8 和图9 的仿真结果表明，随着信噪比或快拍数的增大，提出的测向算法性能不断提高。对于信噪比和快拍数的影响，所提的算法性能优于6 阵元正交偶极子圆阵，表明本文测向算法仅用两阵元可取代6 阵元正交偶极子圆阵测向算法，能够有效提高阵元利用率，同时保证测向的精度。表2 的仿真结果表明，阵元通道不一致性的增大会导致算法测向性能的降低，通道不一致性的对本文算法的影响略小于6 阵元正交偶极子圆阵。

4 结语

传统DOA 测向算法往往要求阵元数大于入射信号数。本文提出了正交偶极子对旋转阵列的测向算法，解决了阵元数大于入射信号数的问题，同时减少了系统的通道数，降低了通道不一致性对测向结果的影响和系统成本。通过计算机仿真发现，本文算法仅利用两阵元可成功对2 个、3 个、4 个入射信号进行准确测向，并能够较为准确地计算出相应入射信号的极化信息，实现了少量阵元对多个入射信号的测向。把本文算法与6 阵元正交偶极子圆阵进行比较可以发现，在不同快拍数和信噪比情况下，本文算法均优于6 阵元正交偶极子圆阵。此外，由于本文算法只使用两阵元进行测向，有效避免了通道不一致性对测向结果带来的影响。