吴群妹

（无锡科技职业学院 基础部，江苏 无锡 214028）

最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分［1−2］，国内外有关最优控制的研究已经有很多，如文献［3−4］介绍了一类退化半线性椭圆系统最优控制的必要条件，文献［5−6］研究了有分布参数系统的最优控制，文献［7］研究了固定边界条件下最优控制的必要条件等。用变分法来解决系统的最优控制问题也早已有研究［8−9］。本文研究在固定边界条件下受条件约束的控制问题，利用古典变分法原理，通过构造辅助函数的方法，将有条件约束的系统转化为无条件约束的最优控制问题，再根据拉格朗日方程给出系统达到最优的必要条件及其证明，旨在为受条件约束的固定边界系统最优性能指标的求解提供参考。

1 变分法基本引理

引理1［10］设泛函则

引理 2［10］设其中F为x，y和y'的函数，且F(x,y,y')是三阶可微的，y(x)的边界是固定不变的，且y(x1)=y1，y(x2)=y2，则J取得极值的必要条件是

该方程为著名的欧拉方程，也称为欧拉−拉格朗日方程。

2 约束条件下系统的最优控制

系统的最优控制问题即求其在约束条件下的极值问题，以下给出含3 类不同约束条件的系统状态方程及其性能指标，利用拉格朗日乘数法，将约束条件的极值问题转化为与之等价的无条件极值问题。

2.1 整型约束条件的最优控制

设状态方程的一般形式为

边界条件yj(x1)=aj，yj(x2)=bj，其中yj(x)(j= 1,2,…,n)为状态变量，u(x)为控制输入，约束条件为

ϕi(x)(i= 1,2,…,m)是相互独立的，性能指标表达式为

构造辅助函数λi(x)(i= 1,2,…,m;m

此时系统达到最优的必要条件为