田利萍，方东辉

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

inff(φ(x))

s.t.x∈C,h(x)∈-S.

(1)

特别地,当X=Z,φ为单位算子时,问题(1)即为如下经典的锥约束优化问题[10-14]：

inff(x)

s.t.x∈C,h(x)∈-S.

(2)

许多学者对复合优化问题进行了深入研究,得到了一系列有意义的结论.Bot等[1-2]在函数具有连续性、集合是闭集的情形下,刻画了无约束条件下复合优化问题与其对偶问题之间的强对偶和稳定强对偶.方东辉等[3-4]在函数不一定是下半连续函数、集合不一定是闭集的情形下,利用共轭函数的上图性质,等价刻画了问题(1)与其对偶问题之间的零对偶间隙性质、强对偶和Farkas引理.Boncea等[10]利用上图类条件和ε次微分类条件，等价刻画了问题(2)的ε-对偶间隙性质和稳定ε-对偶间隙性质.特别地,Boncea等[9]利用上图类条件和次微分类条件,建立了复合优化问题与其对偶问题之间的ε-对偶间隙性质、稳定ε-对偶间隙性质和ε-Farkas引理.受上述文献启发,笔者拟在函数不一定下半连续、集合不一定是闭集的情况下,通过引入新的约束规范条件,来等价刻画问题(1)与其对偶问题之间的ε-对偶间隙性质、ε-强对偶和ε-Farkas引理.

2 记号与定义

设X*,Y*和Z*分别是X,Y和Z的共轭空间,分别赋予弱*拓扑w*(X*,X),w*(Y*,Y)和w*(Z*,Z).〈x*,x〉表示泛函x*∈X*在x∈X处的值,即〈x*,x〉=x*(x).X的子集C的对偶锥和示性函数分别定义为

C⊕∶={x*∈X*:〈x*,c〉≥0,∀c∈C},

domf={x∈X:f(x)<+∞},

epif={(x,r)∈X×R:f(x)≤r},

f*(x*)∶=sup{〈x*,x〉-f(x):x∈X} ∀x*∈X*.

由文献[15]中的定理2.3.1可知,

f(x)+f*(x*)≥〈x,x*〉 ∀(x,x*)∈X×X*.

(3)

epif*+epig*⊆epi(f+g)*,

f≤g⟹f*≥g*⟺epif*⊆epig*.

(4)

定义f与g的下端卷积函数f□g:X→R∪{±∞} 为

(h+p+r)*(x*)=h*(x*-p)-r∀x*∈X*,

(5)

epi(h+p+r)*=epih*+(p,-r).

(6)

3 ε-对偶间隙性质和ε-强对偶

设p∈X*.考虑带线性扰动的复合优化问题

inff(φ(x))-〈p,x〉

s.t.x∈C,h(x)∈-S，

(7)

及其Lagrange对偶问题

(8)

特别地,当p=0时,问题(7)即为问题(1),而问题(8)转化为

(9)

令v(i)(i为问题对应的序号)表示问题的最优值……