陈晓玥

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130012)

0 引言

在当前经济飞速发展的时代，人口的流动也越发的频繁，而人口流动所面临的首要问题就是住房.对于流动人口来说，租房成了理想选择.根据租房大数据报告显示，租房市场处于持续增长的状态，租房也成为人们备受关注的热点问题.随着互联网的发展，多款租房app也相继上线，如房天下、百姓网、58网、口碑网等.网上租房作为一种新潮租赁方式，依托互联网的优势，可随时随地看房节省时间、房源量多选择广泛，省去中介环节，更加省时省钱，减去了不必要的资源和人力浪费.由于网上租房和中介租房所面对的需求群体基本一致，必将产生资源竞争，从而导致经济竞争问题.为了获取最大的经济效益，研究网上租房和中介租房合理共存是关键.利用两个群体间关系建立生物数学模型，研究两群体动态系统.

为了研究方便，给出相关定理：

平面考虑自治系统[1]：

(1)

定理1若对一切t∈(-,+)，x(t)≡x*，y(t)≡y*(x*,y*)∈D，则称x=x*,y=y*为(1)的一个定常解,它所对应的积分曲线是(t,x,y)空间中平行于t轴的直线x=x*,y=y*.对应此解的轨线是相平面中一个点(x*,y*)，称(x*,y*)为奇点(或平衡点).显然(x*,y*)是(1)的一个奇点(或平衡点)的充分必要条件是P(x*,y*)=Q(x*,y*)=0.

1 系统分析

近年来，随着居民对住房消费观念的转变，“买改租”之风逐步兴起.数据显示，自2017年起我国房屋租赁市场一直处于增长的状态，而到了2019年约2.2亿人口通过租赁市场解决居住问题，尤其在“北上广深”等城市，房屋租赁市场更加广阔.租赁人口的增加，使“找房难”成了热点问题.随着计算机技术手段的提升，网络渗透到各个行业，走进国民生活，对提高国民生活水平起着至关重要的作用.与此同时，租房app也融入了人们的生活，由于网上租房消耗的人力和物力资源更小，租房app数量不断增长，这对传统的房屋租赁公司造成了前所未有的冲击，也对中介人员的利益造成了损失.因而建立网上租房和中介租房的数学模型并对其动态系统进行分析，使得租房软件数量和房屋租赁公司成立数量达到稳定和平衡，从而取得最大的经济效益，使得资源得到有效配置.建立中介租房和网上租房在t时刻同时增长的经济竞争模型，如下

(2)

其中x(t)表示租赁公司数量；y(t)表示租房app数量；K表示社会对租赁公司的最大需求；A表示租房app的Allee系数，也是开发租房app的最小数量；r3表示使用租房app的系数.

为了便于模型的分析，令

可将模型转化为：

(3)

以下是关于正平衡点稳定性讨论

[H1] 系统(3)存在唯一正平衡点[2]C(x*,y*).

[H2] 平衡点C(x*,y*)是稳定结点.

证明 系统(3)在(x*,y*)处的Jacobi矩阵

有Δ=a11a22-a12a21=(p1q2-p2q1)x*y*>0δ=-(a11+a22)=p1x*+q2y*>0 故平衡点C(x*,y*)是稳定[3]结点.综上所述平衡点C(x*,y*)是局部渐进稳定的.

图1 系统(3)的轨迹示意图

用Matlab模拟系统(3)的的稳定平衡点，如图1所示.

[H3] 系统(3)在区域D内无闭轨迹[4]

2 生物学意义

在系统(3)中，中介租房和网上租房在所面对的需求和经济群体相同的条件下，两个群体随时间t的变化而变化，系统明确二者的曲线变化，无论两个群体的初始值为何，最终二者都会达到各自的平衡点x*和y*.

租房问题[6]已经成为人们关注的焦点，对于传统的中介租房，中介提供全程服务，其中包括咨询、看房、成交、售后等，而且为客户的整个交易提供安全保障，与此同时需要的资源和人员更多，中介租房费用更大.而网上租房房源多，不受地域影响可随时浏览房源信息，方便又快捷，但房源的真实性难以保障，相对于中介租房虚拟成分过多.综合二者的优缺点，利用所建立的数学模型，找到平衡点C(x*,y*)，以此进行人为干涉，使两个群体达到最合理共存状态，更好地为国民服务，并获得经济最大化.