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论9 的除法

2020-12-18湖北省荆州市洪湖市文泉中学陈景华

数学大世界 2020年5期
关键词:个位数被除数数位

湖北省荆州市洪湖市文泉中学 陈景华

如果一个自然数的各位数字之和是9 或9 的倍数,那么这个数一定能被9 整除。例如:1215、2151、1512……36783、666、456789……如上这些数都能被9 整除。

任意一个自然数除以9,一般的方法是用除法,先求商,后求余数,而我的方法是:①先求余数;②后求商;③用加减法求。

首先,怎样求余数呢?在这里介绍用划数法求余数。

第一,当一个数的各位数字较小时,例:234561÷9,方法是,划去数位上的数字之和为9 或9 的倍数,剩下的数位上数字之和即为余数,如3+4+5+6=18,剩下2+1=3,所以此式的余数为3。验证:234561÷9=26063……3。又例:12321346÷9,划去的数字2、3、3、4、6 的和为18,还剩下的数字1、2、1 之和为4,故12321346÷9的余数为4。

总结:没有划掉的数字相加的和就是余数。

第二,当一个数的各数位上的数字较大时,例:8887687÷9,划去的数字8、7、6、8、7 之和为36,剩下的数字为8、8,和为16,又数字1、6 之和为7,所以式子8887687÷9 的余数是7。又如:823276÷9,划去数字3、2、7、6 之和为18,余下数字8、2 之和为10,又1+0=1,所以823276÷9 的余数为1。

我们将余数求出了,现在怎么求商呢?

我们先来研究这样一个问题:①54÷9=6;②324÷9=36;③63927÷9=7103。

以上三式中,被除数的个位与商的个位之间有什么关系?4+6=10,4+6=10,7+3=10,它们之间互补(就是相加等于10)。

我们发现,任意一个能被9 整除的数,被除数的个位与商的个位互补。有了这样的结论,我们可以大胆设想一下,任何一个能被9 整除的数,可不可以用加减法求其结果呢?例:365418÷9,因为各位的数字3、6、5、4、1、8 之和为27,是9 的倍数,说明365418 能被9 整除。

365418 →被除数,第一步,因为8+2=10,所以商的个位是2;第二步,8+2=10 进位1,十位上1+1=2,2+?=2,只有2+0=2,所以商的十位数字是0;第三步,被除数的百位是4,而只有4+6=10,所以商的百位上是6;第四步,4+6=10 进位1,被除数的千位上是5,以百位上进位1,有5+1=6,只有6+0=6,所以商的千位上数字为0;第五步,被除数的万位上数字是6,6 比商的千位上的数0 大,只有6+4=10 才能有0,所以商的万位数字为4。且因为6+4=10,进位1,被除数最高位数字为3,有3+1=4,只有4+0=4,所以商到万位4 就终止了,则有365418÷9=40602。

总结:365418÷9 图例如下:(每位分为进位或不进位)

3 6 5 4 1 8……被除数

4 0 6 0 2……商

商:从个位起,要进位,十位不进位,百位上要进位,千位不进位,依次循环到最高位,且商的十位上数字为被除数十位上数字1 与个位上进位1 之和,商的千位数字为被除数千位数字5 与百位上进位1 之和……

又例:35642134÷9=?

解析:因为3+5+6+4+2+3+4=27,还余数字1,所以此式子的余数是1,那么35642133÷9 的商为多少呢?看图例:3 5 6 4 2 1 3 3……被除数

1 1 1

0 3 9 6 0 2 3 7……商(个位上数字起开始进位)

原则:商的个位数字为被除数个位数字的补数字,商的十位数字为商的个位上数字减去被除数十位数字与进位1 之和,商的百位数字为商的十位数字减去被除数百位数字,商的千位数字为商的百位数字减去除数千位数字(从十位数字起,有进位1 要减去1,不进位的要减去0)……所以35642134÷9=3960237……1。

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