孙一芳, 穆浩杰, 王淑影

(长春工业大学 数学与统计学院， 吉林 长春 130012)

0 引 言

平均场型的正向随机系统(MF-FSDE)也称为McKean-Vlasov SDE。MF-FSDE是Kac[2]在1956年提出的等离子体Vlasov动力学方程的一个随机玩具模型,McKean[3]于1966年开始对此进行研究,因此得名。MF-FSDE在工程、博弈、金融和经济等各个领域都有许多成功的应用。文献[1]研究了标准布朗运动驱动的具有确定系数的平均场随机微分方程的线性二次型最优控制问题,推导出最优性系统,并利用解耦技术得到两个在一定条件下唯一可解的Riccati微分方程,进而得到最优控制的反馈表示；文献[4-5]利用随机极大值原理研究了Markowitz均值方差投资组合选择问题和一类均值场LQ问题；文献[6]考虑了部分信息的平均场控制问题；文献[7]将深度学习中的群体风险最小化问题作为一个平均场最优控制问题进行了数学描述,证明了Hamilton-Jacobi-Bellman型和Pontryagin型的最优性条件；文献[9]一般化了文献[1-8]的结果到时间无界限情形;文献[10]实现了偏微分方程最优控制问题的准确快速求解。

分数布朗运动既不是Markov过程,也不是半鞅,使得关于分数布朗运动构成控制系统随机最优控制问题研究则少的多[11-15]。文献[16]考虑Hurst参数在(1/2,1)范围内关于分数布朗运动驱动的平均场型随机系统构成的随机控制问题,得出一个由经典布朗运动驱动的Pontryagin型极大值原理和伴随平均场倒向随机微分方程,推广了经典条件下最优控制的充分必要条件。

文中以文献[1]的思路,将其部分结果拓展到由Hurst参数在(1/2,1)范围内分数布朗运动驱动的确定型系数的平均场型线性二次随机最优控制问题上,证明该问题存在唯一最优解,并得到最优控制满足的必要条件。……