杨蕾

【摘要】文中采用时间序列的 Garch 模型对我国黄金指数建模进行预测。通过分析讨论我国黄金指数 AUL9 价格收益波动规律的特征，有利于投资者更科学合理地把握黄金指数市场行情，控制市场风险，对该市场波动规律及未来趋势研究具有实际意义。实证表明我国的黄金指数回报率时间序列具有随机游走特性，且存在arch效应，我们通过拟合Garch （1，1）模型进行预测，取得了比较满意的预测结果。Garch （1，1）模型计量结果表明其具有波动集聚性，并且波动的外部冲击对市场有长期的影响。

【关键词】黄金指数  Garch 模型  预测  资产收益波动率

一、引言

今年年初当美国等西方国家的金融体系遭遇突发风险事件和不稳定因素时，黄金被视为一种重要的避险资产，于是世界各国对黄金的发展走势越来越重视。随着金融风险造成的损失越来越突显，对于黄金指数回报率进行建模，综合各种指标，提出科学建议就显得格外重要。至于我们本次研究的黄金指数回报率建模及预报能力，国外的研究人员做过系统性的论证分析，指出跟踪分析黄金指数波动率与成交量之间的关系能够帮助我们开发市场内部买卖双方的交易信息及综合状态，并整合这些微观层面的信息可以帮助投资者避免盲目效仿，进一步评估这些信息产生的影响，对衡量黄金指数发展水平发挥着重要的作用，最终帮助我们看清黄金指数的回报率分布和走势规律。从国内已有的文献资料看来，国内对该领域研究较晚，对黄金指数的特征、走势等等探讨的并不太多。

二、文献综述

早在20世纪初期，国外已经有相关的学术研究，Robert F.Engle（1982）发表了关于自回归条件异方差arch模型的研究。之后不久，Bollerslev（1986）提出来基于arch模型的广义自回归条件异方差Garch模型，该模型考虑到上一期对现期影响因素以及外部条件的影响，进一步放开对arch模型的约束。它比传统的方差模型刻画出的金融市场风险的变化过程更加准确，因此arch模型及衍生出的Garch模型在金融时间序列研究领域有着广泛的应用。

我们这里研究的Garch模型在分析论证黄金指数AUL9过程中表现出的波动率集聚的特点效果显著，可以运用于金融时间序列收益波动率的预测评估。选用Garch 模型分析我国黄金指数AUL9价格波动率走势特征，同时对该模型在未来波动率的预测效果进行评价，给市场参与者提供一定的参考。

三、Garch 预测模型介绍及数据收集处理

（一）Garch预测模型介绍

Garch模型不同于传统的模型要指定方差为一个固定的数，它将方差表现呈一种动态序列的形式，更贴近市场的客观情况，使所建模型效果更好。所以比起arch模型，Garch模型更加适用于做波动率的分析和预测。Garch（1，1）模型是Garch（p，q）方法中最常用的模型，我們将其作为拟合黄金指数价格的预测工具，模型的数学表达为：

Rt=C+εt

其中Rt是金融资产收益率，C为常数项，εt为误差项，α0>0，α1≥0，β1≥0。

（二）数据收集及处理

本文中实证研究选取的某交易所发布的黄金指数数据AUL9的每日收盘价数据作为样本;由于Garch模型要求采用的样本数量最少应为200个以上的前提条件，为保证有足够的样本量，文中选取的样本时间跨度从2010年1月4日至2018年11月7日，共2148个有效的交易日数据，黄金指数交易价格及交易量数据来自wind数据库提供的统计数据。

笔者运用的是黄金指数AUL9回报率时间序列数据，采取的是回报率的对数形式，也就是每两个连续交易日收盘价取对数后的一阶差分，数学表达式为：

Rt=lnpt-lnpt-1

其中pt为当日的收盘价，pt-1为前一日收盘价，Rt为当日的回报率。

四、数据样本的基本检验

数据的正态性测试：

一般金融数据需先测试正态性，以验证分析的数据究竟呈现出怎样的分布状态，当它不服从正态分布，我们才可以拿来做后续的研究分析。本文中笔者分别运用Q-Q图分析法及J-B检验法等两种方法进行正态性检验。

图1 黄金指数AUL9的回报率的正态Q-Q图及直方图

（1）Q-Q 图形分析法。利用SPSS软件，笔者模拟出黄金指数AUL9的日回报率的正态Q-Q图（见图1左图），黄金指数的Q-Q图大致呈“S”状，与图中的直线并不重合，说明分析的样本数据并不服从正态分布。

（2）峰度偏度分析法。笔者模拟出黄金指数 AUL9 的回报率直方图（见图 1 右图），观察结果：黄金指数 AUL9 的回报率序列Rt的Mean值为0.0005 约等于0，回报率序列的std.dev标准差值为0.0096，skewness值为-0.304，偏度小于 0，说明该序列呈拖尾分布，kurtosis为 5.391，峰度大于3，该序列分布高于正态分布。

五、Garch预测模型实证分析

（一）平稳性测试

在建模之前，先要测试该回报率数据的平稳性，平稳性是回报率序列做后续估计和预测的必要前提。在众多平稳性的测试方法中，单位根检验就是一种很有效的测试方法。之后我们利用ADF检验测试黄金指数AUL9回报率序列，该序列记作Rt。

测试结果如表1，在1%的显著水平下，该回报率Rt统计结果表明拒绝原假设，即Rt序列为平稳的。在论证过程中，为避免伪回归发生，需要分析P值，经计算得到的P值为0小于0.05，不存在单位根，Rt回报率序列稳定。

（二）波动性测试

我们通过STATA软件测试该回报率Rt序列，从图2可明显看出，部分时段波动较大，部分时段较小，即前段波动大，后段波动小，呈现出典型的金融时序数据的爆发性、集聚性和持久性等特征。且Rt回报率序列围绕着 0值上下波动，已无明显的趋势，可以视为一个零均值化的平稳序列，可以用于实证。

（三）arch效应测试与Garch模型估计

1.arch效应测试

在金融时间序列建模之前，我们必须先通过测试看它的残差是否呈现arch效应。笔者运用arch-lm测试方法测试黄金指数AUL9回报率Rt序列，得到结果，在滞后阶数p=1时lm统计量为61.504，P值（伴随概率）0.0000，拒绝原假设，arch效应显著，可以用来拟合Garch模型。

2.Garch模型的参数估计

Garch模型这种用于预测时序的建模法，它具有更好地消除资产回报里过高峰值的优点。本文中，Garch（1，1）模型将作为我们的预测工具来预测已选取的回报率数据。通过以上的單位根检验、波动性检验、arch效应检验以后，证实我们所选的黄金指数AUL9的回报率通过测试，则建立Garch（1，1）黄金指数价格AUL9回报率预测模型，所得的估计方程为：

上述的条件方差模型中的arch项和Garch项的系数对应的统计量都很显著，即该回报率序列存在Garch效应。从条件方差估计值可见，Garch（1，1）模型的系数α1和β1都显著不为0，且α1+β1=0.9987332<1，符合模型成立的约束条件，因而选用Garch（1，1）预测短期黄金指数AUL9是可行的。

（四）估计模型检验

在以往大量的金融时序研究中，通过对估计结果的残差做自相关检验， 来判断模型拟合优度，检验估计的有效性。一般残差值的大小与最近一期的残差有关，所以我们基于残差的自相关图，可以检验均值方程的估计是否正确。

经过AUL9回报率Rt序列的残差自相关检验，检验中观测值对应的点并没有全部落在接受区域内，该残差序列依然存在自相关值显著非0的情况，表明之前模型提取不够充分，为了得到更加科学合理的预测结果，下面我们需要继续调整模型。

（五）调整的Garch预测模型

为了消除该序列存在的自相关现象，为了提升模型预测的准确性，我们对模型进行了调整。调整后模型的数学表达式为：

调整后再做残差自相关检验时，AUL9回报率Rt序列的观测值对应的点大致落在95%置信区间内，表明现在的该残差序列已消除了自相关。同时调整后的模型参数均比原来更加显著，Garch项系数0.9507反映了系统的长记忆性，而α1比β1的波动程度较小，arch项系数0.0482反映外部冲击对黄金指数回报波动的影响，表示市场的波动持续性比较明显。所以说现在的Garch（1，1）模型更好地拟合了Rt序列。

（六）模型的预测

我们得到的模型经识别和参数估计后，通过相关检验，证实可以对黄金指数AUL9的收盘价及波动状况进行预测。由于我们选取了收盘价差分序列的对 数数据拟合模型，为了获得更准确的结果，我们还要将预测出的AUL9回报率Rt时序还原为收盘价数据，结果为2018年11月7日预测值277.2474698，实际值277.3;2018年11月8日预测值276.808602，实际值276.85，;2018年11月9日预测值274.8056444，实际值274.8。我们将实际值与预测值相对比，并拟合出时序图（图3），实际值与预测值的走势非常接近。

六、结果分析

（一）对黄金指数AUL9日收盘价收益波动的评价

本文通过对2148个有效的黄金指数AUL9日收盘价历史数据进行建模，分析实证结果，Garch模型模拟出黄金指数回报率Rt的预测值接近实际值，图中模拟的曲线也几乎与实际的趋势一致。估计模型的参数α1+β1的结果接近于1，且Garch项系数0.9507反映了系统的长记忆性。与β1相比，α1的波动程度较小，arch项系数0.0482反映外部冲击对黄金指数收益波动的影响，表示市场的波动持续性比较显著。这就说明我国黄金指数价格波动持续了很长时间，即t天波动率大，随后一天的波动率也很大。目前我国股市中存在大量的个人投资者，他们容易对信息反映不够理性，最后决策偏差造成价格偏离了内在价值，因而产生了价格波动的聚集性。

（二）Garch模型预测金融时间序列非常实用

许多研究中表明，Garch模型做预测一个显著的优点就是它只需要有黄金指数价格的时序数据。虽然它也需要对于模型进行统计计量、经济规律等检验，判断样本序列的异方差性和相关性，但收集金融数据相对容易一些，而且经过分析论证，Garch（1，1）模型完全适用于我国的黄金指数回报率序列的建模，因而在实际工作中这种“数据驱动方法”非常受欢迎。

（三）Garch模型未来还需提高

Garch模型所选的样本数据一般都是金融高频数据，做短期预测可行，对长周期的预测效果还有待进一步的研究。另外，对于市场的突发状况，Garch模型一般很难做出回应，怎样跟现代的智能方法（如人工智能、机器学习等方法）有效的结合，以便更加准确地跟上突发事件，是未来有待进一步提高的问题。

参考文献：

[1]Bollerslev，T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity [J]. Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[2]Engle， R. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation [J]. Journal of Finance，1982，50（3）：821-851.

[3] 阮敬. Python数据分析基础[M].（第2版）.北京： 中国统计出版社（2018）：440-443.