陈小彬

【摘要】当下数学课堂，以知识传递为教学目标的现象依然存在，在这种价值导向下，数学教学最为突出的局限在于对教学中“人”的忽视，带来的结果就是教师缺乏用整体综合的思维方式，对概念教学作出整体策划和综合设计的能力。美国数学教育家杜宾斯基提出，概念教学要经历活动（Action）—过程（Process）—对象（Object）—图式（Schema）等四个阶段的APOS理论，观照儿童的思维生长力，促进数学概念之间的关系网络化。

【关键词】APOS理论   活动   过程   对象   图式

概念是数学大厦的基石，是数学的逻辑起点，APOS理论视域下的情境化主题教学，关注学生建构概念的基本规律，关注数学概念形成过程的内部本质，观照学生数学思维生长力，促成数学概念之间的关系网络化，更好地为学生思维发展而设计。APOS理论是美国数学教育家杜宾斯基于20世纪80年代在数学教育研究实践中总结的一种概念学习理论，他认为，学生对数学概念的建构过程要经历：活动（Action）—过程（Process）—对象（Object）—图式（Schema）等四个阶段。

一、APOS理论视域下情境化小学数学概念教学的价值与意义

1.顺应：符合学生认知特点与规律

APOS理论视域下的概念教学让学生在情境中“活动”，在过程中抽象，在反思中达到数学化，有助于激活学生已有的知识经验或生活经验，从而顺其自然地开启儿童概念学习“刺激模式”，以感性认知为切入口，感悟概念的一般属性，符合儿童的认知特点，遵循儿童认知概念的规律。

2.集聚：提升学生密集的脑力当量

数学概念的形成过程是一个由表及里发现和提炼本质特点的过程，更是一个对概念本质特点进行归纳和抽象命名的过程。APOS理论视域下的概念教学让学生经历“材料感知—辨析比较—归纳概括—抽象命名”的概念形成过程，帮助学生逐步形成辨析比较、概括提炼的抽象能力。学生经历了这样概念建构的过程，可以提升密集的脑力当量。

3.深入：推动学生对数学本质的理解

数学概念具有很强的系统性，APOS理论视域下的概念教学，遵循学生的认知结构，学生通过实例比较、分析、概括、分化和类化等思维活动，可以理清概念的关键属性，从而形成数学概念的系统结构。经过这样的建构过程，学生在学习时会聚焦属性本质，数学思维从“理性思维”逐步走向“理性精神”。

二、APOS理论视域下情境化概念主题教学策略建构

1.有向“活动”：丰盈感性体验指向儿童“直观思维”

感性材料是影响概念教学的先行因素。感性材料越丰富，学生对概念的掌握也就会越准确。对丰富的感性材料进行概括和整合，透过现象探究数学概念的本质特征，才能由感性认识上升到理性认识。因此，在概念教学过程中要提供大量的、丰富的、感性的事实材料，注意引导学生发现和感悟材料特点。所谓“大量的”材料提供目的有两个：一是避免学生形成的概念内涵单一，材料越丰富，学生形成概念的内涵越丰富;二是为了激发学生产生对大量材料梳理清晰的学习需求。所谓“丰富的”材料，是指既要包括蕴涵概念本质属性的材料，又要包括反映概念非本质属性的材料，它们成为凸显概念本质属性的反衬资源。以下以苏教版数学三年级下册《认识面积》一课教学为例：

师：这是我们的教室，请小朋友仔细观察，说说有些什么？

师提问：谁能来指一指黑板的面？

师：你能照样子指一指课本的封面，练习本的封面，文具盒盖等物体的面吗？

师提问：看看黑板的面和课本封面，哪一个面比较大，哪一个面比较小？

师：拿出老师为大家准备的树叶、长方形纸、爱心扣等物件，你能在小组里说一说它们的面积吗？

师：从你身边再找一些物体，摸一摸它们的面，比一比它们的面积。

在上述教學案例中，教师通过教室里的设施、学生的文具、生活中的树叶等，创设了学生熟悉的现实情境，通过“活动”让学生亲身体验、感受背景材料与概念之间的关系，不断发现“丰富的”材料的共同特点，通过这样感性材料“分化”的过程，让学生在情境中寻找到归纳概念本质的线索。

2.融通“过程”：引发数学思考指向儿童“经验思维”

通过有向活动，学生经历概念引入、概念初建的过程，通过活动操作、归纳概括、抽象命名形成概念。运用压缩和解压缩的过程去实施某个“活动”是数学思维的一个特点。由于概念是数学家早已建立了的，对学生个人而言，是在他尚未经历的情况下需要重复的那类过程，通过亲自操作体验，做一次再创造而形成概念的过程。因此，概念建构的过程也要关注学生的最近发展区，在学生自发性概念的基础上，帮助学生在经历对事实材料辨析比较分析，也就是自发性概念所能到达的水平与科学概念所要求的水平之间的区间，对已经接触到的恰当的实例进行组织整理、分析归纳，使学生逐步由表及里发现数学的本质。以下以苏教版数学五年级下册《认识圆》一课为例：

过程一：新旧比较，初步感知圆的特征。初次画圆，体会圆的与众不同，学生交流不同的画圆方法，按以下顺序完成：（1）借助圆形物体画圆;（2）钉线画圆;（3）圆规画圆。

过程二：利用圆规，初次画圆，初步感知圆及其特征。圆规画圆，掌握画圆方法。出示要求：试着用圆规画一个圆。

过程三：利用圆规，再次画圆，体会圆心与半径的意义。用圆规在作业纸上画出两个不同的圆。画好后，想一想，与同桌说一说，所画的两个圆有什么相同与不同之处。

过程四：利用圆规，三次画圆，体会半径与直径的特征;四次画圆，理解半径特征。提问“同一个圆内，有多少条半径，长度有什么关系？直径呢？”体会同一个圆内半径有无数条，且都相等。

过程五：对折圆片，探索特征，总结知识，理解半径与直径的关系。

在上述教学案例中，教师紧紧围绕画圆这一过程开展教学活动，每次活动都有清晰的活动经验积累的目标，通过聚类的研究分析，发现圆相同的共性特点，比如：半径相等、直径相等、圆的大小与半径有关、圆的位置与圆心有关等。学生在活动中思考，经历思维的内化、压缩过程，收获清晰的圆概念建构的活动经验。

3.聚焦“对象”：解析概念内涵指向儿童的“抽象思维”

学生能够把经历的“过程”作为一个整体进行操作和转换，意味着学生已经将这个过程提升为心理“对象”。这时，促进学生不断地调整头脑中的动作表象，形成准确的定向映像，进而在实际操作活动中可以调节动作的执行。再以动作表象为基础，既操作别的对象，又被高层次的运算来操作，就是学生在不断建模的过程，在数学概念某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用。在操作过程中，概念呈现一种静态结构关系，易于整体把握性质，让思路和思维实现链接，这时一个完整的理解才真正成型。以下以苏教版数学五年级下册《分数与除法的关系》一课教学为例：

（1）操作体验，积累感性认识

出示：把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？

算式：3÷4=[3] [4]（块）。

提问：结果会是多少块？（学生活动操作）

呈现资源：这三小块，拼起来，就是一块饼的3/4，所以是3/4块。

（2）想象演绎，激发理性思考

提问：如果把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块呢？

算式：3÷5=[3] [5]（块）。

（3）关系表达，形成认知表征

师：同学们的想法和表述都很有创意，有的用文字，有的用符号，有的用字母，它们都体现了分数与除法的关系。数学上我们一般用含有字母的等式来表示。如a÷b=a/b，此处b可以是0吗？为什么？

在上述教学案例中，教师通过分一分、摆一摆等直观操作，逐步引导学生建构“分数与除法的关系”，通过抽象认识了分数与除法的关系的概念本质，并进行高度的概括和简约的表达a÷b=a/b，赋予了形式化的定义及符号，使其成为一个思维中的具体对象。这样融合操作与模型建构，使学生在以后的学习中，可以此为对象进行新的学习活动，达成思路与思维的链接。

4.活化“图式”：建构知识网络指向儿童“系统思维”

概念教学过程中概念图式的形成需要理性思辨，它不同于感性认知中的感觉、知觉和表象，而是属于人们对事物的理性认知，它已经不是从局部而是从整体上，不仅是从外部形态上而是从事物的内部规律上，反映了事物的本质属性。为了让学生把概念内涵与外延抽象串联起来，需要注重建立起与其他概念、规则、图形等的联系。教学过程不仅关注内涵的学习，还要进一步研究概念的外延。通过辩证、剖析，将概念的内涵与外延串联起来。

例如，“平行四边形”的内涵包括：①是平面图形，②是凸四边形，③对角相等，④对边平行，⑤对边相等，⑥对角线互相平分等本质属性。而平行四边形的外延是所有平行四边形的集合，其中包括矩形、菱形和正方形。平行四边形概念建构的过程，不仅要对其概念内涵进行深度探索，还要重视菱形、矩形、正方形等图形特征的联系与区别。

因为概念的内涵严格地确定了概念的外延，反过来，概念的外延也严格地确定了概念的内涵。概念的内涵和外延之间存在着反变的关系，即概念的内涵增多，将导致外延的缩小，反之，概念外延的扩大，也必然导致内涵的减少。因此，需要引导学生从概念的内涵和外延兩个方面来思辨明确概念，进而形成概念的综合心理图式。

实践证明，一个数学概念由“过程”到“对象”的建立有时是既困难又漫长的，需要充分的“活动”作为建构的直观基础，从“过程”到“对象”的抽象需要经过多次的反复，循序渐进，螺旋上升。图式的形成往往并非是一种自觉的行为，而是渗透于整个学习的渐进的建构过程。

【参考文献】

[1]吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.

[2]孟世才.基于APOS理论的中学函数概念的教学研究[J].教学与管理，2011（7）.