孙保炬 傅宇辰 陈怡 沈喆

摘 要：本文选用了同济大学出版的《高等数学》第七版与由叶其孝、王耀东等翻译的《Thomas Calculus》译本第十版进行比较分析。对于两本教材的内容、排版、结构、习题进行初步分析，为我国微积分课程的教学提供指导意见。

关键词：高等数学;教材比较;内容分析

微积分是一门研究微分、积分及其相关概念的一门学科，属于数学大类。自然科学的发展离不开数学的发展，几百年来微积分理论对自然科学的进步提供了巨大的动力，为解释一些自然现象提供了有力的理论依据。微积分促进了理学、工学、农学、医学、经济学等学科发展，直到今日我们仍能从中受益，这也是许多高校的理工科专业开设微积分为必修课的原因。微积分课程的教学质量既关系到学生今后的发展，也关系到本科学生读研深造，然而微積分课程的教学质量与其选用的教材息息相关。

随着全球化的持续推进，我们不能仅仅拘泥于本国原有的教材和教学方法，需要开拓国际化视野。众所周知，美国是世界上本科教育质量最高的国家之一。故本文我们将对其采用的微积分教材进行比较探究，并在最后提出几点对我国目前本科微积分教学的建设性意见。以下文章中所提到的《微积分》即指《Thomas Calculus》，《高等数学》即指同济版《高等数学》。

一、 教材知识点比较

1. 教材知识容量

《微积分》的知识依次包含：预备知识、极限、一元微分学、一元积分学、微分方程、级数、向量、多元微分学、多元积分学，共计14个章节;《高等数学》的知识依次包括：极限、一元微分学、一元积分学、微分方程、空间向量、多元微分学、多元积分学、级数，共计12章。

两本书的知识点几乎都是重合的，只是在知识排版和顺序上有所不同。特别的是，《微积分》中有预备知识这一章节，很好的衔接了高中和大学，给了大学生一段从高中的初等数学过渡到高等数学的时间。当然也可能是中国和美国的高中教育的差异导致了美国学生学习高等数学时需要过渡。但同时对中国高中阶段一些知识漏洞的补充也有帮助：例如反函数和参数方程内容，由于中国各省份的高考试卷考纲有些不一致，所以对反函数和参数方程进行细化讲解很有必要。

两本教材对于章节顺序的设定均比较合理，但现在许多中国的教材将级数这一章节放在了一元积分学之后，因为级数毕竟是一个求和的式子，和积分有着密不可分的关系。例如极限中利用积分的黎曼和式解答，黎曼和实际上就是级数的一种。微分方程解题过程中需要结合一元微积分学的知识，故将微分方程和级数放在一元微积分学之后是一种比较合理的顺序。

从教材难度来说，我国教材要优于美国教材，我国教材中的曲线曲面积分是美国教材未涉及的，我们的教材涉及范围更广，内容体系更为严密。

2. 教材各课时排版

《微积分》中每一小节的大致顺序，先是知识引入，一般由物理问题引入，其次是主干知识与例题，最后是习题，而《高等数学》缺少这一引入，在大部分章节中均没有引入这一环节。这导致学生很难理解学习微积分到底有什么用。微积分课程是大部分理工科开的课程，对于物理知识的引入很有必要，这对于学生今后专业课的学习也是很有帮助的。

3. 教材适用学生类型

《微积分》这本教材其实更加适合自学的人，因为它的语言简洁，适用于零基础的人，且习题量大于《高等数学》，习题涉及了许多理学，工学，艺术学等诸多领域，教学内容更加注重应用，缺点是不注重分析结论的理论来源，更注重实际来源，对于本科专业是数学且今后要从事数学研究的学生不太适用，但对于以微积分为工具的工科学生是比较适合的。《高等数学》更偏重基础，基础较好和较差的学生学习起来很容易拉开差距，其学术性更为严谨，教材体系也更为详细。

4. 教材对数学文化的体现

数学文化，不仅包括数学的定理、公式、思想方法、语言、观点，还包括它们的形成与发展、数学史、数学教育以及数学与社会的联系。这对于一名学生数学素质的培养，起着重要的意义。微积分属于数学的一门分支学科，它系统地创立于17世纪，由英国的科学家牛顿与莱布尼茨创立。实际上，在我国古代，这种思想也出现了萌芽，如刘徽的“割圆术”、祖暅的“祖暅原理”等。

对于教材中一小节的知识点内容，我们大致可以分为正文、材料拓展、例题三个模块。在这些模块中处处可融入数学文化。如表一所示，从纵向比较来看，《微积分》中对于数学文化的补充极其丰富，几乎是《高等数学》的三倍，从横向来看，《高等数学》分布不太匀称，材料拓展部分几乎没有，而《微积分》分布较为匀称。

5. 以“导数及微分”为例的对比

“导数及微分”这一章节是微积分中微分学部分的基础，两本教材都放在了极限章节的后面，两书也不约而同地将“导数及微分”与“导数的应用”，分成了两个章节。在我国，人教版高中教材选修2-2中已有导数章节，并且在高考数学中也有体现，相比较美国学生，我国学生对于初等函数的求导更为得心应手，只是对于求导其中的数学原理不是很了解，故对于二者差异，两本教材也选择从不同的出发点对“导数及微分”进行讲述。《微积分》的教材知识模板较多，但总体来说，二者在本章节的知识点大致相同。整体的讲述顺序都是从导数入手，再介绍二阶、高阶求导以及隐函数、参数方程求导，最后介绍微分。其主要区别大致有这么两点：

① 《高等数学》依据的是求导进行推进，《微积分》依据的是函数进行推进。

两教材都是先介绍了导数的定义、几何意义，然后《高等数学》中介绍了求导基本公式、高阶求导、隐函数与参数方程求导，最后介绍微分。而《微积分》是从函数类型入手学习幂函数、三角函数等函数的求导与微分，没有把微分列为单独一个小节，在各个函数的小节中介绍。相比较而言，《高等数学》的章节设置更为循序渐进，知识体系合理严密，《微积分》的章节设置更为独立分散，有利于帮助学生培养“大胆猜测，小心证明”的数学思想，如通过这一函数的求导联想猜测另一函数的求导。

② 《微积分》更倾向于实际应用。

在《高等数学》中，虽然有介绍相关变化率，但却把这一内容安排在一个小节中。而《微积分》将其列为一个大节，这足以体现《微积分》更重视知识的实际应用，这一方面在后文的习题比较中也有体现。

二、教材习题比较

习题，无论对于学生学习还是老师教学，都起着很重要的作用，一本教材的优劣不仅仅取决于它对于知识点的讲述，还在于它的习题，数学是一门偏理论的学科，是许多应用型学科的基础，故而习题的选择也十分重要。

1. 习题类型比较

两书中的“拓展”模块占比最低，当然这也可以理解，本身“拓展”部分对于学生水平要求过高，两书的“了解”模块占比相似，都比较重视基础的习题。《高等数学》习题大部分属于“理解”模块，这能够促进学生思考。但“应用”模块过少，关于应用数学的习题过少，更注重学生逻辑思维能力培养，而《微积分》恰恰相反，“应用”模块相比起《高等数学》较多，“理解”模块相比于《高等数学》较少，更加注重学生的发散型思维培养，有利于学生在学习数学中加强与其他学科的联系。

2. 习题涉及其他学科领域比较

据统计《高等数学》中涉及其他学科领域的共56题，《微积分》共549题，不难看出《高等数学》中涉及到其他学科的习题数量要远远低于《微积分》。数学，无论微积分也好，线性代数、概率论也好，都属于基础学科，除了要从事数学研究的学生外，学习的最终目的就是应用于其他学科，這也是学生在求学阶段一直要学习数学的原因。在这一点上，《高等数学》对于其他学科的涉及过少，不利于帮助学生明确学习数学的目的，不明确目的的学习是盲目的，是没有动力的，这也是我国许多理工科高校生反感数学的原因之一。

《微积分》中涉及物理学共287道，经济学102道，建筑学65道，医学及其他共95道，可以看出，占总量一半以上的是物理学，也应了“数理不分家”这句话。事实上，物理的学习确实离不开微积分，例如力的做功，我们在中学阶段只学习定力做功，而在实际生活中并没有多少定力做功的情况，更多的还是变力做功，所以这就需要利用微积分相关知识来进行求解。

三、研究结论与建议

1. 结论

综合上述比较，可以得出中美微积分教材之间的差异与共同点：首先《高等数学》更偏向于学术研究，抽象性更高，对于知识的合理严密性要求更高，而《微积分》更偏向于实际的生活应用，更看重知识的应用层次。其次，在排版顺序上，《微积分》将“级数”放在“定积分”之后更为合理。再次，从习题方面来看，对于学习学透微积分，《高等数学》更为合理，习题大部分是属于“理解”类型。此外，从书的质量与美观程度来看，《微积分》更加美观，其配图也比《高等数学》更为生动。从数学文化角度看，《微积分》也优于《高等数学》，其涉及的数学文化更加全面、广泛，人文艺术氛围更浓厚。最后，从知识的组成看，《高等数学》是“高楼”结构，而《微积分》属于“平房”结构，例如学习求导，《高等数学》会铺垫函数知识，再学习所有函数的求导法则，而《微积分》是先学习某一个函数性质再研究这个函数的求导。总体来说，没有谁优谁劣，只有适合与不是之分。

2. 对学生的建议

首先，数学作为一门基础学科，与学生们今后的发展息息相关。微积分是高等数学的基础，应用领域广泛，故同学们应当明确学习态度，了解学习微积分的目的，积极地学习这门课程。其次，在学习微积分时，要加强对概念的思考和理解，用逻辑性思维将相关的内容串联起来。最后，要加强微积分知识的应用能力，习题的练习是微积分学习中不可或缺的一个环节。除此以外，希望同学们不要只拘泥于课本，可以联系自己所学的专业知识，用微积分的思想来解决实际问题，做到学以致用。

3. 对教师的建议

从事微积分相关教学的教师，可以更多的引入微积分在生产生活中应用的例子，理论联系实际。这样既能激发学生对微积分学习的兴趣，又能让学生更好地理解和学习这门课程。还可以引入介绍一些数学史，包括各类定理的产生的年代背景与数学家的故事。在习题的选择上，也可以增加与生活更加贴近的微积分问题，培养学生的应用意识和实际应用能力。

4. 对我国高校教材编写的建议

在我国之后发行的微积分教材中，可以适当地增加微积分应用于其他学科的例子，并运用更加通俗易懂的语言讲诉知识、联系实际，从而增强读者的理解能力和应用能力。其次，在版面设计上，多放插图帮助学生理解内容，尽量减少大篇幅的文字阐述，从而更加突出重点。

结语：

这次论文的撰写，使我提升了总结比较能力，进一步了解了高等数学各部分的框架与联系，这对我将来的工作应用与深造考学都有很大的帮助。另外，我要感谢本文的指导老师吴福珍和沈喆同学、陈怡同学，没有他们的持续努力与辛勤付出，便没有这篇论文的诞生。本文若有缺憾与不足之处，烦请斧正。

（作者单位：1.浙江水利水电学院建工学院，浙江 杭州 310018;  2合肥工业大学电气学院，安徽 合肥 230009）