◇ 山东 李百玲

提升学生高中数学能力,除了掌握必要的基础知识,更重要的是学生对数学思想方法的灵活运用.函数与方程、转化与化归是高中数学中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.

在近几年高考数学试卷中,许多与函数相关的解不等式的题目,尤其是压轴小题,经常能用到构造函数法.所谓构造函数是指通过一定方式,设计并构造一个与待解答问题相关的函数,并探究其单调性,借助图象或利用运算结果,从而得到不等式的解集.本文重点探讨如何合理地构造函数.

1 构造f(x)与x的关系

当题目所给的不等式中除了f(x)外,仅含有x,常用的构造形式有.对于xf′(x)＋f(x)＞0,构造h(x)＝x f(x);对于x f′(x)－f(x)＞0,构造.

例1设f(x)是定义在R上的偶函数,当x＜0时,f(x)＋x f′(x)＜0,且f(－4)＝0,则不等式xf(x)＞0的解集为________.

解析

设F(x)＝x f(x),则有F′(x)＝f(x)＋xf′(x),当x＜0时,f(x)＋xf′(x)＜0,F′(x)＜0,所以F(x)在(－∞,0)上单调递减.因为f(x)为偶函数,x为奇函数,所以F(x)为奇函数,故F(x)在(0,＋∞)上也单调递减.

根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0,从而函数图象如图1所示,根据图象知x f(x)＞0的解集为(－∞,－4)∪(0,4).

图1

变式f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)＝0,当x＜0时,有xf′(x)－f(x)＞0恒成立,则不等式f(x)＞0的解集为________.

解析

2 构造f(x)与e x的关系

由于(ex)′＝ex,当给出的不等式中出现f(x)±f′(x)型,我们首先考虑f(x)与ex的关系,和的形式优先考虑构造F(x)＝f(x)·ex,差的形式优先考虑构造.

例2已知f(x)是定义在R上的函数,导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立,则有( ).

A.f(2)＞e2f(0),f(2 020)＞e2020f(0)

B.f(2)＜e2f(0),f(2 020)＞e2020f(0)

C.f(2)＞e2f(0),f(2 020)＜e2020f(0)

D.f(2)＜e2f(0),f(2 020)＜e2020f(0)

解析

变式已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),满足f(0)＝e2且f(x)＞f′(－x),则关于x的不等式的解集为( ).

A.(－∞,－2) B.(－2,＋∞)

C.(－∞,0) D.(0,＋∞)

解析

根据原函数是偶函数可知f′(－x)为奇函数,又f′(－x)－f(x)＜0,故构造函数F(x)＝f(x)ex,其在R上单调递增,将f(x＋2)＞转化为F(x＋2)＞F(0),再根据其单调性可得x＋2＞0,从而B选项正确.

3 构造f(x)与sin x,cos x的关系

类比前两类,若题中出现三角函数,就需要构造f(x)与sinx,cosx结合的函数,具体如下:

例3已知函数y＝f(x)对于任意满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0(其中f′(x)是f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是( ).

解析

变式已知且αsinα－βsinβ＞0,则下列结论正确的是( ).

A.α＞βB.α2＞β2

C.α＜βD.α＋β＞0

解析

构造f(x)＝xsinx,则f′(x)＝sinx＋时,导函数f′(x)≥0,f(x)单调递增时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.又因为f(x)为偶函数,根据单调性可知选B.

以上是构造函数在解决与不等式有关的小题中的应用,在求解时,根据问题的条件或目标,构造出一种新的函数关系,在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题,这是一种行之有效的解题手段.构造函数法解题具有较大的灵活性和技巧性.根据要解决的问题,灵活构造转化,有的放矢,从而使问题迎刃而解.