文 顾云霞

勾股定理被视为几何学中的璀璨明珠，千古不衰，自古以来，其不仅运用广泛，而且证明方法多种多样，展示出它迷人的魅力。据统计，勾股定理有500多种证明方法，是证明方法最多的定理。

图1

图2

图3

我国证明勾股定理的第一人是三国的赵爽，他的“勾股弦方图”（如图1）构思巧妙，推理严谨。数学家华罗庚曾提出把“勾股弦方图”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”第一次“谈话”的语言。如图1，正方形ABCD的面积c2被剖分为4个“朱实”和1个“黄实”，即a2=a2+b2，即直角三角形ABE斜边的平方等于两直角边的平方和。

赵爽已经证出了勾股定理，但数学家们并没有停止步伐，而是努力寻求不一样的奇妙证法。

魏晋数学家刘徽评注《九章算术》中的“勾股章”时，曾用“以盈补虚，出入相补”的办法做过证明（如图2）。注文是：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。清代数学家李潢遵从刘徽的“令出入相补，各从其类”原理，结合“旋转变换”（如图3），令△ACB绕点A逆时针旋转90°至△AC′B′，再令△DFG绕点D逆时针转动90°至△DF′G′，“其余不移动也”，最后令阴影的小三角形进入弦方而证之；同时代数学家李锐，运用了“平移变换”证明，其大、中、小三类三角形只需要通过平移出入弦方相补的位置，图形清晰，一目了然（如图4）。

图4

各种“出入相补型”证法所体现出来的“以形证数，数形结合”的思想方法，在数学史上具有独特的贡献和地位。其他数学家的证明方法各有千秋，限于篇幅，这里就不一一列举了，同学们若感兴趣可查阅数学史书研究一番。