邱立军（江苏联合职业技术学院盐城机电分院，江苏盐城 224000）

1 引言

微分方程在科学研究和工程应用中得到广泛的使用，可以通过方程的解来描述不同的现象结果，但由于微分方程的计算过程中往往会忽视大部分有用的信息，从而导致不能准确描述实际现象，例如弹力力学[1].而非线性方程则可以通过偏微分与误差估计等方式求出精确解，在流体力学、空间离子等领域具有重大的应用[2，3].例如，在非压缩或接近条件下，描述弹性杆的纵向形变波传播可用非线性的Pochhammer-Chree方程（非线性P-C方程）表示为utt-uttxx-当p=3或5时，它表示了质点两种不同结构[1].特别当p=3时，即

表示的纵向形变孤立波相互作用是非弹性的.此外，求非线性方程的精确解也逐渐出现许多方法，如（G′/G）方法、F-展开法、齐次平衡法、反散射方法、EXP-函数法等等[4-8].EXP-函数法已经被广泛应用于求解非线性发展方程.本文通过运用EXP-函数法求解方程（1），包括孤波解、周期解，从而丰富了EXP-函数法在求解非线性方程的精确解中的应用.

2 EXP-函数法求解的方法简述

EXP-函数法求解非线性偏微分方程的一般步骤如下：考虑非线性偏微分方程

其中x，t为变量，u为因变量.为了求方程（2）的行波解，作变换

其中c为待定常数.将式（3）代入方程（2）中，可将（2）式化为一个常微分方程

假设方程（2）的解 u（ξ）可以表示为 exp（ξ）的有限幂级数，即

其中f，g，p，q是待定正整数；an，bm是待定常数.为了确定f和p的关系，平衡方程（4）的非线性项和最高阶偏导数项的最高次；同理平衡方程（4）的非线性项和最高阶偏导数项的最低次，便得到g和q的关系.再把f和p，g和q取一些特殊值，就可以将方程（4）的左边化为 exp（nξ）的多项式.再令含 exp（nξ）（其中 n=0，±1，±2，…）项的系数为零，得到相应的一组代数方程组，应用数学软件Maple求解这个代数方程组，可求出待定系数an，bm（n，m=0，±1，±2，…）.将这些结果代入式（5）便得到方程（2）用exp（nξ）表示的行波解的一般形式.

3 非线性Pochhammer-Chree方程的精确解

利用EXP-函数法求解方程（1）的精确解，将式（3）代入方程（1）得到下列常微分方程

设方程（6）的解可以表示为式（5）的形式，则为了确定 f，g，p，q 之间的关系，首先平衡（6）式中 u（4）和 u2u″的最高次，由（5）式可得

其中 Ai是常数，比较（7）和（8）式，令 f+5p=3f+3p，得 p=f.

再平衡（6）式中 u（4）和 u2u″的最低次，由（5）式可得

其中 Bi是常数，比较（9）和（10）式，令 -（g+5q）=-（3g+3q），得 g=q.

3.1 情形Ⅰ

令 p=f=1，q=g=1，则由（5）式，得

其中 ai，bi为待定常数.将（11）式代入方程（6），并利用 Maple计算得到

3.2 情形Ⅱ

图1 两双曲函数解u23的波形图（其中 c=0.5，-10≤t≤15，-2≤x≤2）

图2 两双曲函数解u23的波形图（其中 c=1.5，-6≤t≤2，-6≤x≤2）

图3 两双曲函数解u29的波形图（其中 3≤t≤9，-9≤x≤15）

图4 两双曲函数解u45的波形图（其中 a2=0.5，-8≤t≤5，-5≤x≤5）

当参数 b0满足（54）时，解（51）为两个孤立波解

3.3 情形Ⅲ

令 p=f=3，q=g=3，则由（5）式，得

4 结论

利用EXP-函数法结合齐次平衡法原理，并借助数学软件再次研究了p=3时的非线性Pochhammer-Chree方程.本文首先求出了方程的指数函数解，再将其中一些参数取特殊值，就可以把指数函数解化为双曲函数解.通过比较，解（42）、（43）、（68）、（69）的结构与文献[1]、[4]中的解的结构相同；同时还出现了大量与现有文献中解的结构不相同的解，表明本文不仅进一步证明了文献中精确解的有效性，而且丰富了相关文献中解的类型.