杨芸珍,刘立龙,黄良珂,周 威,万庆同

(桂林理工大学 a.测绘地理信息学院;b.广西空间信息与测绘重点实验室,广西 桂林 541006)

0 引 言

电离层延迟误差是影响全球卫星导航系统应用服务的主要误差源之一, 引起的信号延迟误差可达数米甚至数百米[1], 严重削弱了导航定位的精度, 因此, 合理有效地削弱或者消除电离层延迟误差至关重要。

目前, 单频接收机常用的电离层改正模型有Klobuchar模型[2]、NeQuick模型[3]和IRI模型[4]。其中, Klobuchar模型因计算简单, 在卫星导航定位中应用最广泛, 但50%～60%的修正率制约了它的发展[5]。为此, 国内外诸多学者分别从参数精化和模型精化两方面对Klobuchar模型进行了多次改进:Dach等[6]利用全球GPS数据重新评估并发布了Klobuchar模型参数;Yuan等[7]基于数百个IGS观测站和中国地壳运动观测网络的数据修正了8参数, 使其更加符合区域电离层的变化情况, 然而参数精化未顾及夜间时延和初始相位所引入的模型误差;文献[8-12]通过增加参数对模型进行了精化, 并建立了一些适用于不同尺度区域的Klobuchar模型;蔡成辉等[9]基于最小二乘曲面拟合模型, 利用实测数据对Klobuchar模型的初始相位、振幅和夜间时延值不断改进, 建立了区域电离层延迟模型;徐李冰等[10]则进一步考虑夜间值固定和广播参数不一定最适合特定区域的现状, 修正了Klobuchar模型的夜间值、振幅和周期, 提出了13参数的中国地区改进模型;章红平[11]顾及初始相位和夜间固定值的影响, 通过采用GPS双频改正数据, 利用最小二乘法求取了中国区域的模型参数, 建立了14参数的Klobuchar模型。研究发现, 上述改进方法均能使模型修正率得到一定的提升, 但因参数过多, 不利于广播星历的播发而未能大范围民用。

随着GNSS技术的发展, 单频用户亟待更高的定位精度。 鉴于时间序列ARIMA模型[13-15]具有样本数据要求少、 建模理论完善、 计算过程简单及短期预报精度高等优点，本文拟采用ARIMA模型对每个历元前8天的Klobuchar模型和双频改正模型之间的偏差值进行2天的时间序列短期预测, 利用预测所得的偏差值改进Klobuchar模型, 并对改进的Klobuchar模型在不同太阳活动时期和不同纬度地区的适用性进行了评估。

1 模型建立

1.1 Klobuchar模型

Klobuchar模型是由Bent电离层经验模型简化而得, 该模型表达了电离层时间延迟的周日变化特性[9], 可表示为

(1)

式中:A1是夜间时延常数;A2是白天余弦函数振幅;A3是初始相位;A4是余弦函数周期；t为基于双频改正模型的初始相位。

1.2 ARIMA模型

ARIMA(p,d,q)模型又称为求和自回归移动平均模型, 其基本思想是: 先将非平稳时间序列转化为平稳时间序列, 然后将因变量仅对其滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归建模[13]。ARIMA模型表达式为

(2)

式中:Φ(B)=1-φ1B-…-φpBp是平稳可逆ARMA(p,q)模型的自回归系数多项式;Θ(B)=1-θ1B-…θqBq是平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系数多项式;d=(1-B)d是差分运算;xt为时间序列;εt为高斯白噪声序列;s和t表示时间序列的不同时刻;d为差分阶数； 非负整数p为自回归阶数; 非负整数q为滑动平均阶数。

1.3 精化模型表达式

文献[6-12]对经典Klobuchar模型从参数精化和模型精化两方面进行改进,使得模型的修正率得到一定的提升,但仍存在着参数精化尚未解决模型误差、模型精化因尺度考虑不周,导致部分改进模型效果不佳等问题。因此,为了满足导航定位精度的需求,本文探索采用时间序列ARIMA模型对每个历元前8天Klobuchar模型和参考值之间的偏差值进行2天预测,利用预测所得偏差值对Klobuchar模型在第9和第10天的电离层TEC值进行改进(A-Klobuchar模型),基于ARIMA模型预测的Klobuchar模型精化表达式为

(3)

式中:Δd是采用时间序列ARIMA模型预测所得Klobuchar模型相对于参考值在第9和第10天的差值;d=1,2;Δ1表示预测所得到的第9天的电离层偏差值;Δ2表示预测所得到的第10天的电离层偏差值;其他参数同前文所述。

图1为基于ARIMA模型预测的Klobuchar模型精化流程。

图1 基于ARIMA模型预测的Klobuchar模型精化流程图Fig.1 Refinement of Klobuchar model based on ARIMA model prediction

2 模型改进算例分析

2.1 精度评估指标

利用电离层双频改正模型改正电离层延迟量的精度在95%以上[16],与其他模型比较,该模型的改正效果十分接近真值。因此,本文可采用双频改正模型计算的VTEC值作为参考值,使用平均相对精度Prel、均方根误差RMSE和相关系数R2等3种指标进行评价,其表达式为

(4)

(5)

(6)

2.2 数据来源

本研究使用不同太阳活动时期分别位于北半球不同纬度区域的4个IGS测站tixi(71.634 5°N,128.866 4°E)、chan(43.790 5°N,125.443 3°E)、shao(31.099 6°N,121.200 4°E)和iisc(13.021 2°N,77.570 4°E)的数据(图2), 将2017年35～44年积日数据作为电离层低太阳活动时期数据, 2016年99～108年积日数据作为电离层中等太阳活动时期数据, 2013年129～141年积日数据作为高太阳活动时期数据, 数据采样间隔为30 s, 卫星高度截止角为15°。

图2 不同纬度区域的4个IGS测站地理位置分布Fig.2 Distribution of 4 IGS stations in different latitude regions

2.3 算例分析

利用基本Klobuchar模型和改进的A-Klobuchar模型, 分别预报2017年43～44年积日、 2016年107～108年积日和2013年137～138年积日4个测站的电离层VTEC值, 并与双频改正模型(DCM)的VTEC值进行对比分析, 其结果如图3～5所示。

图3 A-Klobuchar与Klobuchar模型在低太阳活动时期的电离层VTEC值对比Fig.3 Comparison of ionospheric VTEC values of A-Klobuchar model and Klobuchar model during period of low solar activity

图4 A-Klobuchar与Klobuchar模型在中等太阳活动时期的电离层VTEC值对比Fig.4 Comparison of ionospheric VTEC values of A-Klobuchar model and Klobuchar model during period of medium solar activity

图5 A-Klobuchar与Klobuchar模型在高太阳活动时期的电离层VTEC值对比Fig.5 Comparison of ionospheric VTEC values of A-Klobuchar model and Klobuchar model during period of high solar activity

Klobuchar模型预报的电离层VTEC值与双频改正模型解算的电离层VTEC值在中纬度地区和低纬度地区符合较好, 在高纬度地区符合较差; 而A-Klobuchar在不同的太阳活动时期和不同的纬度地区预报电离层VTEC值的整体情况均优于Klobuchar模型, 特别是在高纬度地区的tixi测站, Klobuchar模型夜间常值的固定导致电子含量的拟合结果大多为一条直线, 而A-Klobuchar模型能够反映出夜间电离层随地方时间变化的特征, 从而更好地反映电离层的周日变化情况。 在同一太阳活动时期, Klobuchar模型与双频改正模型的偏差随着纬度的增加而减小; 在同一纬度地区, Klobuchar模型与双频改正模型的偏差则随着太阳活动的剧烈程度而增大; 而就相同状态而言, A-Klobuchar模型与双频改正模型的偏差较Klobuchar模型与双频改正模型的偏差至少要减少1/2倍。

表1给出了不同的太阳活动时期不同纬度地区单站建模的Klobuchar模型和A-Klobuchar模型相对于参考值双频改正模型的精度, 分为白天和夜间。 A-Klobuchar模型较Klobuchar模型有显著的提高, 且表现出夜间改进效果整体优于白天。 就同一纬度地区不同的太阳活动程度而言, A-Klobuchar模型整体表现为在低太阳活动时期的精度最高。在高纬度地区, A-Klobuchar模型的精度在高、 中和低太阳活动时期分别达到了44.76%、 72.82%和87.32%; 在中纬度地区, A-Klobuchar模型分别达到了90.05%、 75.08%和89.51%;而在低纬度地区, A-Klobuchar模型则分别提升了80.05%、 65.26%和59.52%。就同一太阳活动程度不同的纬度地区而言, A-Klobuchar模型在各纬度地区的精度从高到低依次为中纬度地区、 低纬度地区和高纬度地区。在高太阳活动时期, A-Klobuchar模型的精度在各纬度地区分别比Klobuchar模型高5.28%、 30.20%、 37.75%;在中等太阳活动时期, 比Klobuchar模型分别高176.17%、 61.22%和44.27%; 而在低太阳活动时期, 则比Klobuchar模型分别高250.37%、 97.40%和188.14%。 由此说明, 改进后的A-Klobuchar模型在各个测站点均具有较好的适用性。此外, A-Klobuchar模型与文献[12]所提出的单站建模的Klobuchar模型在不同纬度区域的精度提升情况一致, 在高纬度地区提升最大, 在低纬度地区提升次之, 在中纬度地区提升最小; 但其精度在3个纬度区域的提升程度均较文献[12]所提出的方法更显著。

表1 A-Klobuchar模型和Klobuchar模型在不同的太阳活动时期和不同的纬度地区的相对精度统计Table 1 Statistics of relative accuracy with A-Klobuchar and Klobuchar in different solar activity period and different latitudes %

图6和表2给出了A-Klobuchar模型和Klobuchar模型在不同的太阳活动时期和不同的纬度地区的RMSE分布情况。相较于Klobuchar模型,整体上A-Klobuchar模型的RMSE值在不同的太阳活动时期和各个纬度地区均有显著减少。就高纬度地区而言,A-Klobuchar模型在高太阳活动、中等太阳活动和低太阳活动3种太阳活动时期的RMSE分别减少了-0.14、4.61和6.00;在中纬度地区,A-Klobuchar模型在3种太阳活动时期的RMSE分别减少了7.88、4.26和4.11;而在低纬度地区,A-Klobuchar模型的RMSE则分别减少了6.57、2.60和3.90。在电离层的周日变化方面,与夜间的RMSE值相比,A-Klobuchar模型和Klobuchar模型在白天的RMSE值相对偏大;而在纬度方面,A-Klobuchar模型和Klobuchar模型的RMSE在低纬度地区较大;此外,在太阳活动程度上,整体上A-Klobuchar模型在低太阳活动时期的RMSE值较小。由此说明,太阳接收的辐射量对电离层具有较大的影响。

表2 A-Klobuchar模型较Klobuchar模型在各个测站的RMSE减小情况Table 2 RMSE reduction of A-Klobuchar model compared to Klobuchar model at each station

此外, 表3给出了两个模型与参考值的相关性。相较于Klobuchar模型,A-Klobuchar模型表现出更好的相关性。在高纬度地区,A-Klobuchar模型和Klobuchar模型与参考值的相关性均相对较小,平均相关系数分别只有0.686和0.047;而在中纬度地区和低纬度地区,两个模型与参考值的相关性明显提高,中纬度平均相关系数分别达到了0.965和0.831，低纬度为0.944和0.916。该结果进一步说明了Klobuchar模型在中低纬度地区具有较好的适用性,且A-Klobuchar模型具有更高的精度和稳定性。

表3 Klobuchar、A-Klobuchar模型与DCM模型的平均相关系数Table 3 Average correlation coefficients between Klobuchar and DCM model,A-Klobuchar and DCM model

3 结 论

本文提出一种基于ARIMA误差修正的精化方法, 通过采用ARIMA模型对每个历元前8天Klobuchar模型与双频改正模型的偏差值进行2天预测, 利用预测所得的偏差值对Kobuchar模型进行改进, 以双频改正模型解算的电离层VTEC为参考, 分析改进的Klobuchar模型在不同的太阳活动(低、 中和高太阳活动)时期和不同的纬度(高、 中和低纬度)地区的预报精度, 并与原模型进行对比分析, 得到如下结论:

(1)相较于Klobuchar模型, 在3种太阳活动时期和3个纬度地区, 改进的A-Klobuchar模型与双频改正模型均吻合得更好, 总体上两者的平均相关系数高达0.890, 更能够反映出电离层的时空变化特性。

(2)改进的A-Klobuchar模型的相对精度得到了显著的提升, 就同一纬度地区不同的太阳活动而言, A-Klobuchar模型在低太阳活动时期的改进效果最佳, 而就同一太阳活动不同的纬度而言, A-Klobuchar模型在高纬度地区的改进效果优于低纬度和中纬度地区; 此外, 夜间的改进效果优于白天。

本文基于误差修正的方法对Klobuchar模型进行改进,为Klobuchar模型的精化提供了一种新思路。但是由于数据量有限,改进的Klobuchar模型在其他地区的适用情况有待进一步研究。

致谢:衷心感谢IGS中心提供的实测数据。