■河南省许昌高级中学 郭曼曼

二项式定理揭示了二项式展开式的项、项数、系数、指数等内容之间的联系和基本规律。通过对近几年全国各地高考试卷的分析可以看出，二项式定理是历年高考的必考内容，高考试题多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题。考查的题型也比较稳定，主要考查两点：（1）考查二项式展开式的通项公式，以求二项式展开式中的特定项或特定项的系数为载体，特别关注两个多项式乘积展开式指定幂的系数，以及三项式展示式指定幂的系数。（2）考查二项式的系数的性质，特别关注赋值法处理系数和及二项式系数和。不少同学由于对知识的理解不够或思维不严密，在解题中易产生各种各样的错误，本文就几种常见错误作了介绍，以帮助同学们归类总结，避免类似的错误产生。

易错点一：对二项式（a+b）n的展开式的通项公式理解不透彻而致错

例 1二项式（x+2）6的展开式的第二项是（ ）。

A.60x4B.12x5

C.12xD.60x2

错解：因为所以选A。

错因分析：利用二项式展开式的通项公式求展开式的时候要注意展开式的通项公式指的是第r+1项，错解中将r直接用2代入而引起错误。

正解：二项式（x+2）6的展开式的通项为，令r=1，则T2=12x5。故选C。

易错点二：混淆二项式系数最大项与展开式系数最大项而致错

例2在的展开式中，若二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项是（ ）。

A.180 B.120 C.90 D.45

错解：由解得n=7或n=8，而展开式的通项为，得r无解。

错因分析：二项式系数最大项是指（0≤r≤n），当n是偶数时，中间项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。而系数最大的项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性，通过解不等式组来确定。

正解：因为的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，即最大，故n=10。所以的展开式的通项公式为令10-5r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为。

易错点三：在求特定项时由于遗漏而致错

例3已知的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

分析：求展开式中的特定项，可依据条件写出展开式的通项公式，再由特定项的特点求出r的值。由于求解展开式的有理项，则要求x的指数为整数，可得为整数，从而求出r=0，4，8，代入通项公式求解即可。

解：因为的展开式的前三项的系数分别是所以2×解得n=8或n=1（舍），所以的展开式的通项为Tr+1Z时，Tr+1为有理项。因为0≤r≤8且r∈Z，所以r=0，4，8。故有理项有3项，分别是。

易错点四：对三项展开式特定项的系数问题不会处理而致错

例 4已知二项式则其展开式中的常数项为____。

分析：破解（a+b+c）n展开式的特定项的系数问题，可以先看三项能否用完全平方公式，如果可以则问题较容易解决。若三项不能用完全平方公式，则要根据题目特点，将“三项”看作“两项”，即按照：第一步，把三项的和a+b+c看作a与（b+c）两项的和；第二步，根据二项式定理求出[a+（b+c）]n（n∈N*）的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由（b+c）r的展开式中的哪些项和an-r相乘得到的；第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项，但要避免重复或遗漏。

解：因故其通项公式为的通项公式为令2t-r=0，得的展开式的常数项为。

易错点五：混淆二项式系数和与项的系数和而致错

例 5在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则x3的系数为（ ）。

A.15 B.45 C.135 D.405

分析：令x=1即得（ax+b）n的展开式中各项系数之和为（a+b）n，二项式系数之和为。

解：由题意知得n=6，展开式的通项为得r=2，则x3的系数为135。故选C。

易错点六：利用赋值法求解时出错

例 6已知1）1+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，则a1+2a2+3a3+…+7a7=____。

分析：在涉及求展开式中所有项的系数和或者奇数项、偶数项的系数和问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。但由于本题要求a1+2a2+3a3+…+7a7的和，所以两边可以先分别求导，得到+1）2+…+7a7（x+1）6以后再赋值。

解：对a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7两边求导，得+3a3（x+1）2+…+7a7（x+1）6。令x=0，得。

二项式定理的试题虽然千变万化，但是考查的重心一定落在二项式展开式的通项公式的正用与逆用上。因此，备考的过程中要紧扣定理，熟悉变化，从而确保试题的解答有较高的准确率。