王贺元, 杨跃男, 柏孟卓

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

混沌是非线性系统特有的一种运动形式,产生于确定性系统的依赖于初始条件的往复稳态非周期运动,类似于随机振动而具有长期不可预测性[1]。1963年,气象学家洛伦兹在数值实验中发现混沌现象,随后,经过Kuhu、Li、和Yorke以及May等对混沌的进一步研究,到近代的吕金虎、陈关荣等又提出统一混沌系统[2]。这些开创性工作对混沌理论的应用起到了至关重要的推动作用。混沌理论在众多领域均有广泛的应用,如环型圆管内的对流问题:竖直放置的环型圆管内充满流体,环境温度下热上冷,当底部温度达到一定值时,管内流体发生对流现象。本文通过分析和仿真环型圆管装置所对应的数学模型的动力学行为,分析解释了圆管内的对流现象。

1 环型圆管对流的数学模型

竖直放置的环型圆管内充满流体,环境温度下热上冷。开始流体静止,上下流体内的温差到达一定值后,流体开始在管内对流耗散,忽略粘性流体运动时能耗所产生的热量,并假定通过管壁的热传导速率正比于流体温度与壁外环境温度的差,得出能量方程的近似分解式[3]。文献[3]给出了该数学模型的动力学方程式:

(1)

1.1 系统的对称性和不变性

该类洛伦兹系统具有对称性,即在变换(X,Y,Z)→(-X,-Y,Z)下具有不变性,系统(1)关于Z轴具有对称性,且这种对称性对所有的系统参数均成立[4]。

1.2 耗散性和吸引子的存在性

1.3 平衡点及稳定性

再线性化,就得到该平衡点的稳定性方程为