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最短路径问题的变式与探究

2020-11-28袁玉晓张丽

中学生数理化·教与学 2020年11期
关键词:饮马对称点动点

袁玉晓 张丽

最短路径问题是初中数学学习过程中较为常见的问题,本节内容是对“将军饮马”问题进行变式设计,开展对“最短路径问题”的课题研究,从中让学生体会转化思想在解决实际问题中的重要作用.

一、建立模型

以课本中的将军饮马问题(如图1)为基础,教师提出问题,启发学生思考,将实际问题转化为数学问题,将草地、家两地抽象为两个点,将河抽象为一条直线,这个问题是从草地出发到河边饮马再回到家(如图2),也就是线段AC、BC的和.到河边饮马的地点有多个,设点C是直线l上的一个动点,上面的问题就转化为C在直线l什么位置时AC+BC的值最小.

以将军饮马问题为基础,启发学生思考,理解题意,画出图形,并将实际问题转化为数学问题,以便于更好地解决问题.

二、解决问题

如图3,如果B地位于河对岸,如何在直线l上找到一点C,使线段AC与CB的和最小?学生会很自然地想到“两点之间线段最短”,连接AB与直线l的交点即为所求.这个问题大部分学生都能掌握,如何迁移到我们刚才的问题呢?

受到启发,学生会将新旧知识产生联想,想到用“两点之间线段最短”去解决,若把曲线转化为直线,那么两条线段的和不就最小了吗?接下来让学生自主探究、合作交流,与教师的适当点拨相结合,展示分析过程.根据线段垂直平分线的性质和轴对称,学生會想到只要做出点B关于直线l的对称点B′,就满足了BC等于B′C,再用问题 图5一的方法,连接AB′,线段与直线l的交点就是我们要求做的点,如图5所示.

学生对于最短路径问题无从下手,通过以上解决问题的方法进行总结,运用轴对称的性质,将“同侧”难以解决的问题,转化为“异侧”容易解决的问题,学生体会转化的数学思想,起到突破难点的作用.

让学生回顾总结,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟数学转化思想,明确解题的方法与策略,为后面进一步的学习探究做准备.

三、运用新知

如果题目中再多一个动点呢,要找到MN两点的位置使路径最短,也就是三条不在同一条直线上的线段转化到一条直线上,学生会想到分别做A的对称点,连接两对称点,从而得到了两点的位置和最短的路径.此题由一个动点上升到两个动点,对学生提出了更高的要求和挑战,但是符合学生的认知规律.

四、拓展新知

想一想:如图,如果从A地出发,到一条平直的河边a的某一地方饮马,然后沿着河边行走一定的路程,再来到B地,如何在河边找到一点可使所走的路线全程最短?

引导学生分析行走一定的路程的含义,再提出如下问题:

(1)要使所走的路线全程最短,实际上是使几条线段之和最短?

(2)如何将实际问题转化为“两点之间,线段最短”的数学问题.

在“将军饮马问题”的背景下进行改编,有造桥选址问题的影子,培养学生的应用意识、创新意识,让学生的能力得到进一步锻炼与提高.

问题教学是启发学生思维的源泉和动力.以问题为核心的教学,是通过引导学生分析问题、解决问题,培养学生思维能力的重要方式,通过设置有层次性、灵活性的问题,调动学生探索的积极性.数学问题的解决,环环相扣,之间有着密切的联系.因此,学生学习要善于观察、发现、总结知识之间的联系,把新知识与旧知识进行融合,转化问题和解决问题是深度学习最核心的特征,学生要根据已有经验,在相似的问题情境中举一反三,才能够更好地理解问题、转化问题、解决问题.

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